Упр.57 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^(-6)+3)(a^(-6)-3)-(a^(-6)+4)^2;
2) (a^(-2)+2a^(-1) b^(-1)+b^(-2))/(a^(-1)+b^(-1));
3) (m^(-4)+n^(-6))/(2m^(-4)-2m^(-2) n^(-3) )-n^(-3)/(m^(-2)-n^(-3));
4) (a^(-6)+b^(-6))/b^(-7) :(a^(-6) b^(-3)+b^(-9))/b^(-8) .

Подробный ответ

$$\left(a^{-6}+3\right)\left(a^{-6}-3\right)-\left(a^{-6}+4\right)^2$$
Используем формулы сокращённого умножения:
$$\left(a^{-6}+3\right)\left(a^{-6}-3\right)=a^{-12}-9,$$
$$\left(a^{-6}+4\right)^2=a^{-12}+8a^{-6}+16.$$
Тогда
$$ a^{-12}-9-\left(a^{-12}+8a^{-6}+16\right) =-8a^{-6}-25. $$
$$ \frac{a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} $$
Числитель — квадрат суммы:
$$ a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}=\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2. $$
Тогда
$$ \frac{\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2}{a^{-1}+b^{-1}}=a^{-1}+b^{-1}. $$
$$ \frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{n^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}} $$
Преобразуем первую дробь:
$$ 2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}=2m^{-2}\left(m^{-2}-n^{-3}\right). $$
Тогда
$$ \frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-2}\left(m^{-2}-n^{-3}\right)}-\frac{n^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}} = \frac{m^{-4}+n^{-6}-2m^{-2}n^{-3}}{2m^{-2}\left(m^{-2}-n^{-3}\right)}. $$
Числитель — квадрат разности:
$$ m^{-4}+n^{-6}-2m^{-2}n^{-3}=\left(m^{-2}-n^{-3}\right)^2. $$
Поэтому
$$ \frac{\left(m^{-2}-n^{-3}\right)^2}{2m^{-2}\left(m^{-2}-n^{-3}\right)} =\frac{m^{-2}-n^{-3}}{2m^{-2}}. $$
$$ \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}:\frac{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}{b^{-8}} $$
Упростим каждую дробь:
$$ \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}=\left(a^{-6}+b^{-6}\right)b^7, $$
$$ \frac{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}{b^{-8}}=\left(a^{-6}b^{-3}+b^{-9}\right)b^8. $$
Тогда
$$ \frac{\left(a^{-6}+b^{-6}\right)b^7}{\left(a^{-6}b^{-3}+b^{-9}\right)b^8} = \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b\left(a^{-6}b^{-3}+b^{-9}\right)}. $$
Вынесем общий множитель в знаменателе:
$$ a^{-6}b^{-3}+b^{-9}=b^{-3}\left(a^{-6}+b^{-6}\right). $$
Тогда
$$ \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b\cdot b^{-3}\left(a^{-6}+b^{-6}\right)} =\frac{1}{b^{-2}}=b^2. $$