Контрольная работа 5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 4x^2-20=0; 2) 3x^2+5x=0;
3) x^2-5x-24=0; 4) 7x^2-22x+3=0;
5) 7x^2-6x+2=0; 6) 4x^2+12x+9=0.
2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение — числу 4.
3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из его сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.
4. Число 4 является корнем уравнения 3x^2 + bx + 4 = 0. Найдите значение b и второй корень уравнения.
5. При каком значении а уравнение 2x^2 — 8x + а = 0 имеет единственный корень?
6. Известно, что x_1 и x_2 — корни уравнения x^2 + 10x — 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения (x_1)^2 + (x_2)^2.

1. 1) $$4x^2-20=0$$

   $$4x^2=20$$

   $$x^2=5$$

   $$x=\pm\sqrt{5}$$

   2) $$3x^2+5x=0$$

   $$x(3x+5)=0$$

   $$x=0 \text{ или } 3x+5=0$$

   $$3x=-5$$

   $$x=-\frac{5}{3}$$

   3) $$x^2-5x-24=0$$

   $$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=-24$$

   $$x_1=8,\quad x_2=-3$$

   4) $$7x^2-22x+3=0$$

   $$D=22^2-4\cdot 7\cdot 3=484-84=400$$

   $$\sqrt{D}=20$$

   $$x_1=\frac{22-20}{2\cdot 7}=\frac{1}{7},\quad x_2=\frac{22+20}{2\cdot 7}=3$$

   5) $$7x^2-6x+2=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot 2=36-56=-20<0$$

   Действительных корней нет.

   6) $$4x^2+12x+9=0$$

   $$\left(2x+3\right)^2=0$$

   $$2x+3=0$$

   $$x=-\frac{3}{2}$$

2. Пусть искомое уравнение имеет вид $$x^2+bx+c=0$$. Тогда по теореме Виета:

   $$x_1+x_2=6,\quad x_1x_2=4$$

   Следовательно, $$b=-6,\quad c=4$$.

   Искомое уравнение:

   $$x^2-6x+4=0$$

3. Пусть диагональ прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда его стороны равны $$x-6$$ см и $$x-3$$ см.

   По теореме Пифагора:

   $$\left(x-6\right)^2+\left(x-3\right)^2=x^2$$

   $$x^2-12x+36+x^2-6x+9=x^2$$

   $$x^2-18x+45=0$$

   $$x_1+x_2=18,\quad x_1x_2=45$$

   $$x_1=15,\quad x_2=3$$

   Подходит только $$x=15$$, так как стороны должны быть положительными.

   Тогда стороны прямоугольника:

   $$15-6=9\text{ см},\quad 15-3=12\text{ см}$$

4. Так как число $$4$$ — корень уравнения $$3x^2+bx+4=0$$, подставим $$x=4$$:

   $$3\cdot 4^2+4b+4=0$$

   $$48+4b+4=0$$

   $$4b=-52$$

   $$b=-13$$

   Тогда уравнение имеет вид:

   $$3x^2-13x+4=0$$

   По теореме Виета:

   $$x_1x_2=\frac{4}{3}$$

   Если $$x_1=4$$, то

   $$x_2=\frac{4/3}{4}=\frac{1}{3}$$

5. Уравнение $$2x^2-8x+a=0$$ имеет единственный корень, когда $$D=0$$.

   $$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot a=64-8a$$

   $$64-8a=0$$

   $$8a=64$$

   $$a=8$$

6. Для уравнения $$x^2+10x-4=0$$ по теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-10,\quad x_1x_2=-4$$

   Тогда

   $$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2$$

   $$x_1^2+x_2^2=(-10)^2-2\cdot(-4)=100+8=108$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{5}$$; $$x=0$$, $$x=-\frac{5}{3}$$; $$x=-3$$, $$x=8$$; $$x=\frac{1}{7}$$, $$x=3$$; корней нет; $$x=-\frac{3}{2}$$.

2) $$x^2-6x+4=0$$.

3) $$9\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$.

4) $$b=-13$$, второй корень $$x=\frac{1}{3}$$.

5) $$a=8$$.

6) $$108$$.