Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 7x^2-21=0; 2) 5x^2+9x=0;
3) x^2+x-42=0; 4) 3x^2-28x+9=0;
5) 2x^2-8x+11=0; 6) 16x^2-8x+1=0.
2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение — числу 8.
3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.
4. Число -3 является корнем уравнения 2x^2 + 7x + с = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения.
5. При каком значении а уравнение Зx^2 — 6x + а = 0 имеет единственный корень?
6. Известно, что x_1 и x_2 — корни уравнения x^2 + 12x + 6 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения (x_1)^2 + (x_2)^2.

1. 1) $$7x^2-21=0$$
   $$7x^2=21$$
   $$x^2=3$$
   $$x=\pm\sqrt{3}.$$

   2) $$5x^2+9x=0$$
   $$x(5x+9)=0$$
   $$x=0 \text{ или } 5x+9=0$$
   $$x=-\frac{9}{5}.$$

   3) $$x^2+x-42=0$$
   $$x_1+x_2=-1,\quad x_1x_2=-42$$
   $$x_1=-7,\quad x_2=6.$$

   4) $$3x^2-28x+9=0$$
   $$D=(-28)^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676$$
   $$\sqrt{D}=26$$
   $$x_1=\frac{28-26}{2\cdot 3}=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{28+26}{2\cdot 3}=9.$$

   5) $$2x^2-8x+11=0$$
   $$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 11=64-88=-24<0.$$ Корней нет.

   6) $$16x^2-8x+1=0$$
   $$\left(4x-1\right)^2=0$$
   $$4x-1=0$$
   $$x=\frac{1}{4}.$$

2. Для приведённого квадратного уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-b,\quad x_1x_2=c.$$
   Тогда
   $$-b=-10 \Rightarrow b=10,\quad c=8.$$
   Следовательно,
   $$x^2+10x+8=0.$$

3. Пусть диагональ прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда его стороны равны $$x-8$$ см и $$x-4$$ см.
   По теореме Пифагора:
   $$\left(x-8\right)^2+\left(x-4\right)^2=x^2$$
   $$x^2-16x+64+x^2-8x+16=x^2$$
   $$x^2-24x+80=0.$$
   Тогда
   $$x_1+x_2=24,\quad x_1x_2=80,$$
   откуда
   $$x_1=20,\quad x_2=4.$$
   Значение $$x=4$$ не подходит, так как стороны получаются отрицательными. Значит,
   $$x=20.$$
   Тогда стороны прямоугольника:
   $$20-8=12 \text{ см},\quad 20-4=16 \text{ см}.$$

4. Подставим $$x=-3$$ в уравнение $$2x^2+7x+c=0$$:
   $$2\cdot (-3)^2+7\cdot (-3)+c=0$$
   $$18-21+c=0$$
   $$c=3.$$
   Найдём второй корень по теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-\frac{7}{2},\quad x_1x_2=\frac{3}{2}.$$
   При $$x_1=-3$$ получаем
   $$-3+x_2=-\frac{7}{2}$$
   $$x_2=-\frac{1}{2}.$$

5. Уравнение $$3x^2-6x+a=0$$ имеет единственный корень, если $$D=0$$:
   $$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot a=36-12a.$$
   Тогда
   $$36-12a=0$$
   $$12a=36$$
   $$a=3.$$

6. Для уравнения $$x^2+12x+6=0$$ по теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-12,\quad x_1x_2=6.$$
   Тогда
   $$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2$$
   $$x_1^2+x_2^2=(-12)^2-2\cdot 6=144-12=132.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{3}$$; $$x=0$$, $$x=-\frac{9}{5}$$; $$x=-7$$, $$x=6$$; $$x=\frac{1}{3}$$, $$x=9$$; корней нет; $$x=\frac{1}{4}$$.
2) $$x^2+10x+8=0$$.
3) $$12\text{ см}$$ и $$16\text{ см}$$.
4) $$c=3$$, второй корень $$x=-\frac{1}{2}$$.
5) $$a=3$$.
6) $$132$$.