Упр.27 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (2y^2-5xy)/(x^2-4y^2 )-x/(2y-x)-y/(x+2y);
2) (x-1)/(2x-6)-1/x-(3x-3)/(2x^2-6x);
3) (m+2)/(4m^2-16m+16)-1/(3m-6);
4) (y+12)/(8y+32)-(y+4)/(8y-32)+9/(y^2-16);
5) (a+2)/(a^2+2a+4)-1/(a-2)+(a^3+2a)/(a^3-8).

1. $$\frac{2y^2-5xy}{x^2-4y^2}-\frac{x}{2y-x}-\frac{y}{x+2y}$$

   Так как $$2y-x=-(x-2y)$$, то
   $$\frac{x}{2y-x}=-\frac{x}{x-2y}.$$
   Тогда

   $$ \frac{2y^2-5xy}{(x-2y)(x+2y)}+\frac{x}{x-2y}-\frac{y}{x+2y} $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{2y^2-5xy+x(x+2y)-y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)} $$

   $$ =\frac{2y^2-5xy+x^2+2xy-xy+2y^2}{x^2-4y^2} =\frac{x^2-4xy+4y^2}{x^2-4y^2} =\frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)} =\frac{x-2y}{x+2y}. $$

2. $$\frac{x-1}{2x-6}-\frac{1}{x}-\frac{3x-3}{2x^2-6x}$$

   Разложим знаменатели:
   $$2x-6=2(x-3), \quad 2x^2-6x=2x(x-3).$$

   Тогда
   $$ \frac{x-1}{2x-6}-\frac{1}{x}-\frac{3x-3}{2x^2-6x} =\frac{x-1}{2(x-3)}-\frac{1}{x}-\frac{3(x-1)}{2x(x-3)}. $$

   Приведём к общему знаменателю $$2x(x-3)$$:
   $$ \frac{x(x-1)-2(x-3)-3(x-1)}{2x(x-3)} $$

   $$ =\frac{x^2-x-2x+6-3x+3}{2x(x-3)} =\frac{x^2-6x+9}{2x(x-3)} =\frac{(x-3)^2}{2x(x-3)} =\frac{x-3}{2x}. $$

3. $$\frac{m+2}{4m^2-16m+16}-\frac{1}{3m-6}$$

   $$4m^2-16m+16=4(m-2)^2,\quad 3m-6=3(m-2).$$

   Тогда
   $$ \frac{m+2}{4(m-2)^2}-\frac{1}{3(m-2)} =\frac{3(m+2)-4(m-2)}{12(m-2)^2}. $$

   $$ =\frac{3m+6-4m+8}{12(m-2)^2} =\frac{14-m}{12(m-2)^2}. $$

4. $$\frac{y+12}{8y+32}-\frac{y+4}{8y-32}+\frac{9}{y^2-16}$$

   $$8y+32=8(y+4),\quad 8y-32=8(y-4),\quad y^2-16=(y-4)(y+4).$$

   Приведём к общему знаменателю $$8(y-4)(y+4)$$:
   $$ \frac{y+12}{8(y+4)}-\frac{y+4}{8(y-4)}+\frac{9}{(y-4)(y+4)} $$

   $$ =\frac{(y+12)(y-4)-(y+4)^2+72}{8(y-4)(y+4)}. $$

   $$ (y+12)(y-4)=y^2+8y-48,\quad (y+4)^2=y^2+8y+16. $$

   Тогда числитель:
   $$ y^2+8y-48-(y^2+8y+16)+72=8. $$

   Значит,
   $$ \frac{8}{8(y^2-16)}=\frac{1}{y^2-16}. $$

5. $$\frac{a+2}{a^2+2a+4}-\frac{1}{a-2}+\frac{a^3+2a}{a^3-8}$$

   $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4).$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a+2}{a^2+2a+4}-\frac{1}{a-2}+\frac{a^3+2a}{(a-2)(a^2+2a+4)} $$

   $$ =\frac{(a+2)(a-2)-(a^2+2a+4)+a^3+2a}{(a-2)(a^2+2a+4)}. $$

   $$ (a+2)(a-2)=a^2-4, $$
   поэтому числитель равен
   $$ a^2-4-a^2-2a-4+a^3+2a=a^3-8. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{a^3-8}{a^3-8}=1. $$

Ответ

1) $$\frac{x-2y}{x+2y}$$; 2) $$\frac{x-3}{2x}$$; 3) $$\frac{14-m}{12(m-2)^2}$$; 4) $$\frac{1}{y^2-16}$$; 5) $$1$$.