Упр.176 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 176. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 4, то полученная дробь будет на 1/3 больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+1$$.

После увеличения числителя и знаменателя на 4 получаем дробь $$\frac{x+4}{x+5}$$. По условию она на $$\frac{1}{3}$$ больше исходной, значит:

$$\frac{x+4}{x+5}-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ 3(x+4)(x+1)-3x(x+5)=(x+5)(x+1). $$

Раскроем скобки:

$$ 3(x^2+5x+4)-3x^2-15x=x^2+6x+5. $$

$$ 3x^2+15x+12-3x^2-15x=x^2+6x+5. $$

$$ 12=x^2+6x+5. $$

$$ x^2+6x-7=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64, $$

$$ x=\frac{-6\pm 8}{2}. $$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=-7.$$

Так как числитель и знаменатель дроби должны быть положительными, подходит только $$x=1$$. Тогда знаменатель равен $$x+1=2$$.

Искомая дробь:

$$\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2}$$