Упр.176 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 176. Знаменатель обыкновенной дроби на 11 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 1/9 больше исходной. Найдите исходную дробь.
Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+11$$.
После изменения числитель станет $$x+1$$, а знаменатель — $$x+9$$. По условию полученная дробь на $$\frac{1}{9}$$ больше исходной, значит:
$$\frac{x+1}{x+9}-\frac{x}{x+11}=\frac{1}{9}$$
ОДЗ: $$x\neq -9,\; x\neq -11$$.
Умножим уравнение на $$9(x+9)(x+11)$$:
$$9(x+1)(x+11)-9x(x+9)=(x+9)(x+11)$$
Раскроем скобки:
$$9(x^2+12x+11)-9(x^2+9x)=x^2+20x+99$$
$$9x^2+108x+99-9x^2-81x=x^2+20x+99$$
$$27x=x^2+20x$$
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=7$$.
Проверим:
при $$x=0$$ дробь равна $$\frac{0}{11}=0$$, а после изменения $$\frac{1}{9}$$, разность действительно равна $$\frac{1}{9}$$;
при $$x=7$$ дробь равна $$\frac{7}{18}$$, а после изменения $$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$, и $$\frac{1}{2}-\frac{7}{18}=\frac{1}{9}$$.
По условию требуется найти исходную дробь, и подходящая дробь с положительными числителем и знаменателем:
$$\frac{7}{18}$$
Ответ
$$\frac{7}{18}$$
