Упр.176 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 176. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 6, а знаменатель — на 5, то полученная дробь будет на 1/2 больше исходной. Найдите исходную дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_didakt8 var1/176 827

Пусть знаменатель дроби равен $$x$$, тогда числитель равен $$x-4$$.

После увеличения числителя на 6 и знаменателя на 5 получаем дробь

$$\frac{x+2}{x+5}.$$

По условию она на $$\frac12$$ больше исходной, значит

$$\frac{x+2}{x+5}-\frac{x-4}{x}=\frac12.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ 2x(x+2)-2(x-4)(x+5)-x(x+5)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 2x^2+4x-2(x^2+x-20)-x^2-5x=0, $$

$$ 2x^2+4x-2x^2-2x+40-x^2-5x=0, $$

$$ x^2+3x-40=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-40)=9+160=169, $$

$$ x=\frac{-3\pm 13}{2}. $$

Получаем:

$$x_1=-8,\qquad x_2=5.$$

Так как знаменатель дроби должен быть положительным, берём $$x=5$$. Тогда числитель равен

$$5-4=1.$$

Искомая дробь:

$$\frac15.$$

Ответ

$$\frac15$$