Упр.168 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) (x^2-3x+2)/(x-a)=0;
2) (x-a)/(x^2-3x+2)=0;
3) (x^2-(a+3)x+3a)/(x-1)=0;
4) (x^2-(a-1)x+a-2)/(x-1)=0.
$$\frac{x^2-3x+2}{x-a}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-3x+2=0,\quad x-a\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Проверим знаменатель: при $$x=1$$ нужно $$a\ne 1$$, при $$x=2$$ нужно $$a\ne 2$$.
Если $$a=1$$, то $$x=1$$ не подходит; если $$a=2$$, то $$x=2$$ не подходит.
$$\frac{x-a}{x^2-3x+2}=0$$
Тогда
$$x-a=0,\quad x^2-3x+2\ne 0.$$
Следовательно, $$x=a$$, но при этом
$$a^2-3a+2\ne 0 \quad \Rightarrow \quad (a-1)(a-2)\ne 0.$$
Значит, $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2$$.
Если $$a=1$$ или $$a=2$$, то полученное значение $$x=a$$ обращает знаменатель в нуль, поэтому решений нет.
$$\frac{x^2-(a+3)x+3a}{x-1}=0,\quad x\ne 1$$
Нужно решить уравнение
$$x^2-(a+3)x+3a=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$
Тогда
$$x=\frac{a+3\pm |a-3|}{2}.$$
Если $$a\le 3$$, то корни равны $$x=3$$ и $$x=a$$; если $$a>3$$, то те же корни $$x=3$$ и $$x=a$$.
Но $$x\ne 1$$, поэтому:
- при $$a=3$$ получаем единственный корень $$x=3$$;
- при $$a>3$$ корни $$x=3$$ и $$x=a$$, причём оба подходят, так как $$a>3$$.
$$\frac{x^2-(a-1)x+a-2}{x-1}=0,\quad x\ne 1$$
Решаем числитель:
$$x^2-(a-1)x+a-2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(a-1)^2-4(a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$
Тогда
$$x=\frac{a-1\pm |a-3|}{2}.$$
Получаем корни $$x=1$$ и $$x=a-2$$.
Так как $$x\ne 1$$, корень $$x=1$$ не подходит.
Остаётся $$x=a-2$$, но он должен быть отличен от 1, то есть $$a\ne 3$$.
Ответ
1) если $$a=1$$ или $$a=2$$, то решений нет; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2$$, то $$x=1$$ и $$x=2$$;
2) если $$a=1$$ или $$a=2$$, то решений нет; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2$$, то $$x=a$$;
3) если $$a=3$$, то $$x=3$$; если $$a>3$$, то $$x=3$$ и $$x=a$$;
4) если $$a=3$$, то корней нет; если $$a\ne 3$$, то $$x=a-2$$.
