Упр.167 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) x^2/(2x-1)^2 -4x/(2x-1)+3=0;
2) (x+4)/(x-2)+(x-2)/(x+4)=5 1/5;
3) (3x-1)/x-2x/5(3x-1) =9/5;
4) (5x-1)/(x-2)+5(x-2)/(5x+1)=6;
5) (x^2+4x-1)/3-4/(3x^2+12x-3)=1;
6) (x^2-6x-4)/x+6x/(x^2-6x-4)=-7;
7) 2/(x^2-5x+6)+3/(x^2-5x+7)=8/(x^2-5x+8);
8) 6/(x^2-3x+5)-x^2+3x=4.
$$\frac{x^2}{(2x-1)^2}-\frac{4x}{2x-1}+3=0$$
Сделаем замену: $$\frac{x}{2x-1}=t.$$ Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$t_1+t_2=4,\quad t_1t_2=3$$
$$t_1=3,\quad t_2=1.$$
Подставим:
$$\frac{x}{2x-1}=3 \Rightarrow x=3(2x-1)\Rightarrow x=\frac35$$
$$\frac{x}{2x-1}=1 \Rightarrow x=2x-1\Rightarrow x=1$$
$$\frac{x+4}{x-2}+\frac{x-2}{x+4}=5\frac15$$
Сделаем замену: $$\frac{x+4}{x-2}=t.$$ Тогда
$$t+\frac1t=\frac{26}{5}$$
$$5t^2-26t+5=0$$
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,\quad \sqrt D=24$$
$$t_1=\frac{26-24}{10}=\frac15,\quad t_2=\frac{26+24}{10}=5.$$
Подставим:
$$\frac{x+4}{x-2}=\frac15 \Rightarrow 5(x+4)=x-2 \Rightarrow x=-\frac{11}{2}$$
$$\frac{x+4}{x-2}=5 \Rightarrow x+4=5(x-2)\Rightarrow x=\frac72$$
$$\frac{3x-1}{x}-\frac{2x}{5(3x-1)}=\frac95$$
Сделаем замену: $$\frac{3x-1}{x}=t.$$ Тогда
$$t-\frac{2}{5t}=\frac95$$
$$5t^2-9t-2=0$$
$$D=9^2+4\cdot 5\cdot 2=121,\quad \sqrt D=11$$
$$t_1=\frac{9-11}{10}=-\frac15,\quad t_2=\frac{9+11}{10}=2.$$
Подставим:
$$\frac{3x-1}{x}=-\frac15 \Rightarrow 5(3x-1)=-x \Rightarrow x=\frac{5}{16}$$
$$\frac{3x-1}{x}=2 \Rightarrow 3x-1=2x \Rightarrow x=1$$
$$\frac{5x-1}{x-2}+\frac{5(x-2)}{5x+1}=6$$
Сделаем замену: $$\frac{5x-1}{x-2}=t.$$ Тогда
$$t+\frac{5}{t}=6$$
$$t^2-6t+5=0$$
$$t_1=5,\quad t_2=1.$$
Подставим:
$$\frac{5x-1}{x-2}=5 \Rightarrow 5x-1=5(x-2)\Rightarrow 0=-9$$
Значит, корней нет.
$$\frac{5x-1}{x-2}=1 \Rightarrow 5x-1=x-2 \Rightarrow x=-\frac14$$
$$\frac{x^2+4x-1}{3}-\frac{4}{3x^2+12x-3}=1$$
Заметим, что $$3x^2+12x-3=3(x^2+4x-1).$$ Сделаем замену: $$x^2+4x-1=t.$$ Тогда
$$\frac{t}{3}-\frac{4}{3t}=1$$
$$t^2-3t-4=0$$
$$t_1=4,\quad t_2=-1.$$
Подставим:
$$x^2+4x-1=4 \Rightarrow x^2+4x-5=0 \Rightarrow x=-5,\;1$$
$$x^2+4x-1=-1 \Rightarrow x^2+4x=0 \Rightarrow x=0,\;-4$$
$$\frac{x^2-6x-4}{x}+\frac{6x}{x^2-6x-4}=-7$$
Сделаем замену: $$\frac{x^2-6x-4}{x}=t.$$ Тогда
$$t+\frac{6}{t}=-7$$
$$t^2+7t+6=0$$
$$t_1=-6,\quad t_2=-1.$$
Подставим:
$$\frac{x^2-6x-4}{x}=-6 \Rightarrow x^2-6x-4=-6x \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$\frac{x^2-6x-4}{x}=-1 \Rightarrow x^2-6x-4=-x \Rightarrow x^2-5x-4=0$$
$$D=25+16=41,\quad x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{41}}{2}$$
$$\frac{2}{x^2-5x+6}+\frac{3}{x^2-5x+7}=\frac{8}{x^2-5x+8}$$
Сделаем замену: $$x^2-5x+6=t.$$ Тогда
$$\frac{2}{t}+\frac{3}{t+1}=\frac{8}{t+2}$$
После преобразований получаем:
$$3t^2-4t-4=0$$
$$D=64,\quad t_1=2,\quad t_2=-\frac23.$$
Подставим:
$$x^2-5x+6=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x=1,\;4$$
$$x^2-5x+6=-\frac23 \Rightarrow x^2-5x+\frac{20}{3}=0$$
У этого уравнения действительных корней нет.
$$\frac{6}{x^2-3x+5}-x^2+3x=4$$
Перепишем:
$$\frac{6}{x^2-3x+5}-(x^2-3x+4)=0$$
Сделаем замену: $$x^2-3x+5=t.$$ Тогда
$$\frac{6}{t}-(t-1)=0$$
$$6-t(t-1)=0$$
$$t^2-t-6=0$$
$$t_1=3,\quad t_2=-2.$$
Подставим:
$$x^2-3x+5=3 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1,\;2$$
$$x^2-3x+5=-2 \Rightarrow x^2-3x+7=0$$
У этого уравнения действительных корней нет.
Ответ
1) $$x=\frac35,\;1$$; 2) $$x=-\frac{11}{2},\;\frac72$$; 3) $$x=\frac{5}{16},\;1$$; 4) $$x=-\frac14$$; 5) $$x=-5,\;1,\;0,\;-4$$; 6) $$x=\pm 2,\;\frac{5\pm \sqrt{41}}{2}$$; 7) $$x=1,\;4$$; 8) $$x=1,\;2$$.
