Упр.167 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2/(3x+1)^2 -6x/(3x+1)+5=0;
2) (x-5)/(x+3)+(x+3)/(x-5)=-2 1/2;
3) (2x+1)/x+4x/3(2x+1) =-8/3;
4) (4x-3)/(x+1)+4(x+1)/(4x-3)=5;
5) (x^2+2x-2)/5-6/(5x^2+10x-10)=1;
6) (x^2+4x-9)/x-4x/(x^2+4x-9)=3;
7) 2/(x^2+3x+4)+3/(x^2+3x+1)=8/(x^2+3x-2);
8) 21/(x^2-4x+10)-x^2+4x=6.

1. $$\frac{x^2}{(3x+1)^2}-\frac{6x}{3x+1}+5=0$$
   
   Пусть $$t=\frac{x}{3x+1}$$. Тогда
   $$t^2-6t+5=0,$$
   $$t_1=5,\quad t_2=1.$$
   
   1) $$\frac{x}{3x+1}=5 \Rightarrow x=5(3x+1)\Rightarrow 14x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{14}.$$
   
   2) $$\frac{x}{3x+1}=1 \Rightarrow x=3x+1 \Rightarrow -2x=1 \Rightarrow x=-\frac12.$$
2. $$\frac{x-5}{x+3}+\frac{x+3}{x-5}=-2\frac12$$
   
   Пусть $$t=\frac{x-5}{x+3}.$$ Тогда
   $$t+\frac1t=-\frac52,$$
   $$2t^2+5t+2=0,$$
   $$D=25-16=9,$$
   $$t_1=-2,\quad t_2=-\frac12.$$
   
   1) $$\frac{x-5}{x+3}=-2 \Rightarrow x-5=-2(x+3)\Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-\frac13.$$
   
   2) $$\frac{x-5}{x+3}=-\frac12 \Rightarrow 2(x-5)=-(x+3)\Rightarrow 3x=7 \Rightarrow x=\frac73.$$
3. $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{3(2x+1)}=-\frac83$$
   
   Пусть $$t=\frac{2x+1}{x}.$$ Тогда
   $$t+\frac4{3t}=-\frac83,$$
   $$3t^2+8t+4=0,$$
   $$D=64-48=16,$$
   $$t_1=-2,\quad t_2=-\frac23.$$
   
   1) $$\frac{2x+1}{x}=-2 \Rightarrow 2x+1=-2x \Rightarrow 4x=-1 \Rightarrow x=-\frac14.$$
   
   2) $$\frac{2x+1}{x}=-\frac23 \Rightarrow 3(2x+1)=-2x \Rightarrow 8x=-3 \Rightarrow x=-\frac38.$$
4. $$\frac{4x-3}{x+1}+\frac{4(x+1)}{4x-3}=5$$
   
   Пусть $$t=\frac{4x-3}{x+1}.$$ Тогда
   $$t+\frac4t=5,$$
   $$t^2-5t+4=0,$$
   $$t_1=4,\quad t_2=1.$$
   
   1) $$\frac{4x-3}{x+1}=4 \Rightarrow 4x-3=4x+4,$$ корней нет.
   
   2) $$\frac{4x-3}{x+1}=1 \Rightarrow 4x-3=x+1 \Rightarrow 3x=4 \Rightarrow x=\frac43.$$
5. $$\frac{x^2+2x-2}{5}-\frac{6}{5x^2+10x-10}=1$$
   
   Пусть $$t=x^2+2x-2.$$ Тогда
   $$\frac{t}{5}-\frac6{5t}=1,$$
   $$t-\frac6t=5,$$
   $$t^2-5t-6=0,$$
   $$t_1=6,\quad t_2=-1.$$
   
   1) $$x^2+2x-2=6 \Rightarrow x^2+2x-8=0 \Rightarrow x=-4,\; 2.$$
   
   2) $$x^2+2x-2=-1 \Rightarrow x^2+2x-1=0 \Rightarrow x=-1\pm\sqrt2.$$
6. $$\frac{x^2+4x-9}{x}-\frac{4x}{x^2+4x-9}=3$$
   
   Пусть $$t=\frac{x^2+4x-9}{x}.$$ Тогда
   $$t-\frac4t=3,$$
   $$t^2-3t-4=0,$$
   $$t_1=4,\quad t_2=-1.$$
   
   1) $$\frac{x^2+4x-9}{x}=4 \Rightarrow x^2+4x-9=4x \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm3.$$
   
   2) $$\frac{x^2+4x-9}{x}=-1 \Rightarrow x^2+4x-9=-x \Rightarrow x^2+5x-9=0,$$
   $$x=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.$$
7. $$\frac{2}{x^2+3x+4}+\frac{3}{x^2+3x+1}=\frac{8}{x^2+3x-2}$$
   
   Пусть $$t=x^2+3x-2.$$ Тогда
   $$\frac{2}{t+6}+\frac{3}{t+3}=\frac8t,$$
   $$2t(t+3)+3t(t+6)-8(t+6)(t+3)=0,$$
   $$-3t^2-48t-144=0,$$
   $$t^2+16t+48=0,$$
   $$t_1=-12,\quad t_2=-4.$$
   
   1) $$x^2+3x-2=-12 \Rightarrow x^2+3x+10=0,$$ корней нет.
   
   2) $$x^2+3x-2=-4 \Rightarrow x^2+3x+2=0 \Rightarrow x=-2,\; -1.$$
8. $$\frac{21}{x^2-4x+10}-x^2+4x=6$$
   
   Пусть $$t=x^2-4x+10.$$ Тогда $$x^2-4x=t-10,$$ и
   $$\frac{21}{t}-(t-10)=6,$$
   $$21-t^2+10t=6t,$$
   $$t^2-4t-21=0,$$
   $$t_1=7,\quad t_2=-3.$$
   
   1) $$x^2-4x+10=7 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\; 3.$$
   
   2) $$x^2-4x+10=-3 \Rightarrow x^2-4x+13=0,$$ корней нет.

Ответ

1) $$x=-\frac{5}{14},\; -\frac12$$
2) $$x=-\frac13,\; \frac73$$
3) $$x=-\frac14,\; -\frac38$$
4) $$x=\frac43$$
5) $$x=-4,\; 2,\; -1\pm\sqrt2$$
6) $$x=\pm3,\; \frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}$$
7) $$x=-2,\; -1$$
8) $$x=1,\; 3$$