Упр.167 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2/(2x+3)^2 -3x/(2x+3)+2=0;
2) (x-3)/(x+2)+(x+2)/(x-3)=4 1/4;
3) (x-1)/x-3x/2(x-1) =-5/2;
4) (3x+4)/(x-2)-6(x-2)/(3x+4)=1;
5) (x^2+x-3)/2-3/(2x^2+2x-6)=1;
6) (x^2-x-1)/x-6x/(x^2-x-1)=5;
7) 1/(x^2-3x+3)+2/(x^2-3x+4)=6/(x^2-3x+5);
8) 8/(x^2-6x+12)-x^2+6x=10.

1. $$\frac{x^2}{(2x+3)^2}-\frac{3x}{2x+3}+2=0$$

   Сделаем замену: $$\frac{x}{2x+3}=t,$$ тогда $$x\ne -\frac32.$$ Получаем

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0,$$ значит, $$t=1$$ или $$t=2.$$

   1) $$\frac{x}{2x+3}=1 \Rightarrow x=2x+3 \Rightarrow x=-3.$$

   2) $$\frac{x}{2x+3}=2 \Rightarrow x=4x+6 \Rightarrow x=-2.$$

2. $$\frac{x-3}{x+2}+\frac{x+2}{x-3}=4\frac14=\frac{17}{4}$$

   Пусть $$\frac{x-3}{x+2}=t,$$ тогда $$x\ne -2,\; x\ne 3,$$ а

   $$t+\frac1t=\frac{17}{4}$$

   $$4t^2-17t+4=0$$

   $$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,$$

   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$

   $$t_1=4,\quad t_2=\frac14.$$

   1) $$\frac{x-3}{x+2}=4 \Rightarrow x=-\frac{11}{3}.$$

   2) $$\frac{x-3}{x+2}=\frac14 \Rightarrow x=\frac{14}{3}.$$

3. $$\frac{x-1}{x}-\frac{3x}{2(x-1)}=-\frac52$$

   Пусть $$\frac{x-1}{x}=t,$$ тогда $$x\ne 0,\; x\ne 1,$$ а

   $$t-\frac{3}{2t}=-\frac52$$

   $$2t^2+5t-3=0$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=-3.$$

   1) $$\frac{x-1}{x}=\frac12 \Rightarrow x=2.$$

   2) $$\frac{x-1}{x}=-3 \Rightarrow x=\frac14.$$

4. $$\frac{3x+4}{x-2}-\frac{6(x-2)}{3x+4}=1$$

   Пусть $$\frac{3x+4}{x-2}=t,$$ тогда $$x\ne 2,\; x\ne -\frac43,$$ а

   $$t-\frac{6}{t}=1$$

   $$t^2-t-6=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0,$$ значит, $$t=3$$ или $$t=-2.$$

   1) $$\frac{3x+4}{x-2}=3 \Rightarrow 3x+4=3x-6,$$ корней нет.

   2) $$\frac{3x+4}{x-2}=-2 \Rightarrow 3x+4=-2x+4 \Rightarrow x=0.$$

5. $$\frac{x^2+x-3}{2}-\frac{3}{2x^2+2x-6}=1$$

   Пусть $$x^2+x-3=t,$$ тогда $$2x^2+2x-6=2t,$$ и $$t\ne 0.$$ Получаем

   $$\frac{t}{2}-\frac{3}{2t}=1$$

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0,$$ значит, $$t=3$$ или $$t=-1.$$

   1) $$x^2+x-3=3 \Rightarrow x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3,\; 2.$$

   2) $$x^2+x-3=-1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2,\; 1.$$

6. $$\frac{x^2-x-1}{x}-\frac{6x}{x^2-x-1}=5$$

   Пусть $$\frac{x^2-x-1}{x}=t,$$ тогда $$x\ne 0,$$ а

   $$t-\frac{6}{t}=5$$

   $$t^2-5t-6=0$$

   $$\left(t-6\right)\left(t+1\right)=0,$$ значит, $$t=6$$ или $$t=-1.$$

   1) $$\frac{x^2-x-1}{x}=6 \Rightarrow x^2-7x-1=0,$$

   $$D=49+4=53,$$

   $$x=\frac{7\pm \sqrt{53}}{2}.$$

   2) $$\frac{x^2-x-1}{x}=-1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$

7. $$\frac{1}{x^2-3x+3}+\frac{2}{x^2-3x+4}=\frac{6}{x^2-3x+5}$$

   Пусть $$\frac{1}{x^2-3x+3}=t.$$ Тогда

   $$\frac{2}{x^2-3x+4}= \frac{2t}{1+t},\qquad \frac{6}{x^2-3x+5}= \frac{6t}{1+2t}.$$

   После замены получаем

   $$t+\frac{2t}{1+t}=\frac{6t}{1+2t}$$

   $$3t^2-t-2=0$$

   $$\left(3t+2\right)\left(t-1\right)=0,$$ значит, $$t=-\frac23$$ или $$t=1.$$

   1) $$\frac{1}{x^2-3x+3}=-\frac23$$ — корней нет.

   2) $$\frac{1}{x^2-3x+3}=1 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1,\; 2.$$

8. $$\frac{8}{x^2-6x+12}-x^2+6x=10$$

   Пусть $$x^2-6x+10=t,$$ тогда $$x^2-6x+12=t+2.$$ Получаем

   $$\frac{8}{t+2}-t=0$$

   $$8-t(t+2)=0$$

   $$t^2+2t-8=0$$

   $$\left(t+4\right)\left(t-2\right)=0,$$ значит, $$t=-4$$ или $$t=2.$$

   1) $$x^2-6x+10=-4 \Rightarrow x^2-6x+14=0,$$ корней нет.

   2) $$x^2-6x+10=2 \Rightarrow x^2-6x+8=0 \Rightarrow x=2,\; 4.$$

Ответ

1) $$x=-3,\,-2$$

2) $$x=-\frac{11}{3},\,\frac{14}{3}$$

3) $$x=\frac14,\,2$$

4) $$x=0$$

5) $$x=-3,\,-2,\,1,\,2$$

6) $$x=\frac{7-\sqrt{53}}{2},\,\frac{7+\sqrt{53}}{2},\,-1,\,1$$

7) $$x=1,\,2$$

8) $$x=2,\,4$$