Упр.166 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) (x^2-7)^2-6(x^2-7)-16=0;
2) (x-3)^4-5(x-3)^2+4=0;
3) (x^2+2x)^2-27(x^2+2x)+72=0;
4) (x^2-5x-2)^2+4x^2-20x-40=0;
5) (x^2+3x+1)(x^2+3x+3)=-1;
6) (x^4-5x^2 )^2-2(x^4-5x^2 )=24.
$$\left(x^2-7\right)^2-6\left(x^2-7\right)-16=0$$
Пусть $$x^2-7=t.$$ Тогда
$$t^2-6t-16=0$$
$$t_1+t_2=6,\quad t_1t_2=-16$$
$$t_1=8,\quad t_2=-2.$$
Тогда
$$x^2-7=8 \quad \text{или} \quad x^2-7=-2$$
$$x^2=15 \quad \text{или} \quad x^2=5$$
$$x=\pm\sqrt{15},\quad x=\pm\sqrt{5}.$$
$$\left(x-3\right)^4-5\left(x-3\right)^2+4=0$$
Пусть $$\left(x-3\right)^2=t.$$ Тогда
$$t^2-5t+4=0$$
$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=4$$
$$t_1=4,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\left(x-3\right)^2=4 \quad \text{или} \quad \left(x-3\right)^2=1$$
$$x-3=\pm2 \quad \text{или} \quad x-3=\pm1$$
$$x=1,\;5,\;2,\;4.$$
$$\left(x^2+2x\right)^2-27\left(x^2+2x\right)+72=0$$
Пусть $$x^2+2x=t.$$ Тогда
$$t^2-27t+72=0$$
$$t_1+t_2=27,\quad t_1t_2=72$$
$$t_1=24,\quad t_2=3.$$
Тогда
$$x^2+2x=24 \quad \text{или} \quad x^2+2x=3$$
$$x^2+2x-24=0 \quad \text{или} \quad x^2+2x-3=0$$
$$x=-6,\;4,\;-3,\;1.$$
$$\left(x^2-5x-2\right)^2+4x^2-20x-40=0$$
Преобразуем:
$$4x^2-20x-40=4\left(x^2-5x-2\right)-32$$
Тогда
$$\left(x^2-5x-2\right)^2+4\left(x^2-5x-2\right)-32=0$$
Пусть $$x^2-5x-2=t.$$ Тогда
$$t^2+4t-32=0$$
$$t_1+t_2=-4,\quad t_1t_2=-32$$
$$t_1=-8,\quad t_2=4.$$
Тогда
$$x^2-5x-2=-8 \quad \text{или} \quad x^2-5x-2=4$$
$$x^2-5x+6=0 \quad \text{или} \quad x^2-5x-6=0$$
$$x=2,\;3,\;6,\;-1.$$
$$\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+3x+3\right)=-1$$
Пусть $$x^2+3x+1=t.$$ Тогда $$x^2+3x+3=t+2,$$ и получаем
$$t(t+2)=-1$$
$$t^2+2t+1=0$$
$$\left(t+1\right)^2=0$$
$$t=-1.$$
Тогда
$$x^2+3x+1=-1$$
$$x^2+3x+2=0$$
$$x=-2,\;-1.$$
$$\left(x^4-5x^2\right)^2-2\left(x^4-5x^2\right)=24$$
Пусть $$x^4-5x^2=t.$$ Тогда
$$t^2-2t-24=0$$
$$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-24$$
$$t_1=6,\quad t_2=-4.$$
Тогда
$$x^4-5x^2=6 \quad \text{или} \quad x^4-5x^2=-4$$
1) $$x^4-5x^2-6=0.$$ Пусть $$x^2=a.$$ Тогда
$$a^2-5a-6=0$$
$$a_1+a_2=5,\quad a_1a_2=-6$$
$$a_1=6,\quad a_2=-1.$$
Значит, $$x^2=6$$ или $$x^2=-1.$$ Второе не подходит, поэтому
$$x=\pm\sqrt{6}.$$
2) $$x^4-5x^2+4=0.$$ Пусть $$x^2=b.$$ Тогда
$$b^2-5b+4=0$$
$$b_1+b_2=5,\quad b_1b_2=4$$
$$b_1=4,\quad b_2=1.$$
Значит,
$$x^2=4 \quad \text{или} \quad x^2=1$$
$$x=\pm2,\quad x=\pm1.$$
Ответ
1) $$x=\pm\sqrt{15},\ \pm\sqrt{5}$$; 2) $$x=1,\ 2,\ 4,\ 5$$; 3) $$x=-6,\ -3,\ 1,\ 4$$; 4) $$x=-1,\ 2,\ 3,\ 6$$; 5) $$x=-2,\ -1$$; 6) $$x=\pm\sqrt{6},\ \pm2,\ \pm1$$.
