Упр.161 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (3y^2-12)/(2y^2-15y+18)•(6-y)/(y+2)+y/(3-2y);
2) (y+20)/(4y^3-16y) :((y-2)/(6y^2+11y-2)-4/(4-y^2 ));
3) (4a/(a^2-3a+2)+2/(a^2-1)) :(2a+4)/(a^2-a-2)-a/(a-1).

1. $$\frac{3y^2-12}{2y^2-15y+18}\cdot\frac{6-y}{y+2}+\frac{y}{3-2y}$$

   Разложим на множители:
   $$3y^2-12=3(y-2)(y+2), \quad 2y^2-15y+18=(2y-3)(y-6), \quad 6-y=-(y-6).$$

   Тогда
   $$ \frac{3(y-2)(y+2)}{(2y-3)(y-6)}\cdot\frac{-(y-6)}{y+2}+\frac{y}{3-2y} = -\frac{3(y-2)}{2y-3}+\frac{y}{3-2y}. $$

   Так как $$3-2y=-(2y-3),$$ получаем
   $$ -\frac{3(y-2)}{2y-3}-\frac{y}{2y-3} = \frac{-3y+6-y}{2y-3} = \frac{6-4y}{2y-3} = \frac{2(3-2y)}{2y-3} = -2. $$

2. $$\frac{y+20}{4y^3-16y}:\left(\frac{y-2}{6y^2+11y-2}-\frac{4}{4-y^2}\right)$$

   Разложим на множители:
   $$ 4y^3-16y=4y(y^2-4)=4y(y-2)(y+2), $$
   $$ 6y^2+11y-2=(6y-1)(y+2), \quad 4-y^2=(2-y)(2+y)=-(y-2)(y+2). $$

   Тогда
   $$ \frac{y-2}{6y^2+11y-2}-\frac{4}{4-y^2} = \frac{y-2}{(6y-1)(y+2)}+\frac{4}{(y-2)(y+2)}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(y-2)^2+4(6y-1)}{(6y-1)(y-2)(y+2)} = \frac{y^2-4y+4+24y-4}{(6y-1)(y^2-4)} = \frac{y^2+20y}{(6y-1)(y^2-4)} = \frac{y(y+20)}{(6y-1)(y^2-4)}. $$

   Теперь
   $$ \frac{y+20}{4y(y^2-4)}:\frac{y(y+20)}{(6y-1)(y^2-4)} = \frac{y+20}{4y(y^2-4)}\cdot\frac{(6y-1)(y^2-4)}{y(y+20)} = \frac{6y-1}{4y^2}. $$

3. $$\left(\frac{4a}{a^2-3a+2}+\frac{2}{a^2-1}\right):\frac{2a+4}{a^2-a-2}-\frac{a}{a-1}$$

   Разложим на множители:
   $$ a^2-3a+2=(a-2)(a-1), \quad a^2-1=(a-1)(a+1), \quad a^2-a-2=(a-2)(a+1). $$

   Тогда
   $$ \frac{4a}{(a-2)(a-1)}+\frac{2}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a(a+1)+2(a-2)}{(a-2)(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2+6a-4}{(a-2)(a-1)(a+1)}. $$

   Деление на дробь заменим умножением на обратную:
   $$ \frac{4a^2+6a-4}{(a-2)(a-1)(a+1)}\cdot\frac{a^2-a-2}{2a+4}-\frac{a}{a-1}. $$
   Так как $$a^2-a-2=(a-2)(a+1), \quad 2a+4=2(a+2),$$ получаем
   $$ \frac{4a^2+6a-4}{(a-1)\cdot 2(a+2)}-\frac{a}{a-1}. $$

   Вынесем общий множитель:
   $$ 4a^2+6a-4=2(2a^2+3a-2)=2(2a-1)(a+2). $$
   Тогда
   $$ \frac{2(2a-1)(a+2)}{2(a-1)(a+2)}-\frac{a}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1}-\frac{a}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} = 1. $$

Ответ

1) $$-2$$;
2) $$\frac{6y-1}{4y^2}$$;
3) $$1$$.