Упр.139 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2+(2-4a)x+3a^2-2a=0;
2) x^2-(7a+2)x+14a=0;
3) 3(a-2) x^2+(a-5)x-1=0.

1. $$x^2+(2-4a)x+3a^2-2a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(2-4a)^2-4(3a^2-2a)=4-16a+16a^2-12a^2+8a=4(a-1)^2. $$

   Тогда:

   $$\sqrt{D}=2|a-1|.$$

   1) Если $$D=0$$, то $$a=1$$. Тогда

   $$ x=\frac{-(2-4a)}{2}=\frac{-2+4}{2}=1. $$

   2) Если $$D>0$$, то $$a\ne 1$$. Корни уравнения:

   $$ x_{1,2}=\frac{-(2-4a)\pm 2(a-1)}{2}. $$

   Получаем:

   $$ x_1=\frac{-2+4a-2a+2}{2}=a,\qquad x_2=\frac{-2+4a+2a-2}{2}=3a-2. $$

   При $$D>0$$ имеем $$a>1$$.

2. $$x^2-(7a+2)x+14a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(7a+2)^2-4\cdot 14a=49a^2+28a+4-56a=49a^2-28a+4=(7a-2)^2. $$

   Тогда:

   $$\sqrt{D}=|7a-2|.$$

   1) Если $$D=0$$, то $$a=\frac27$$. Тогда

   $$ x=\frac{7a+2}{2}=\frac{2+2}{2}=2. $$

   2) Если $$D>0$$, то $$a\ne \frac27$$. Корни:

   $$ x_{1,2}=\frac{7a+2\pm(7a-2)}{2}. $$

   Получаем:

   $$ x_1=2,\qquad x_2=7a. $$

   При $$D>0$$ имеем $$a>\frac27$$.

3. $$3(a-2)x^2+(a-5)x-1=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(a-5)^2-4\cdot 3(a-2)\cdot(-1)=(a-5)^2+12(a-2)=a^2+2a+1=(a+1)^2. $$

   Тогда:

   $$\sqrt{D}=|a+1|.$$

   1) Если $$D=0$$, то $$a=-1$$. Тогда

   $$ x=\frac{-(a-5)}{2\cdot 3(a-2)}=\frac{-(-1-5)}{6(-1-2)}=\frac{6}{-18}=-\frac13. $$

   2) Если $$D>0$$, то $$a\ne -1$$. Корни:

   $$ x_{1,2}=\frac{-(a-5)\pm(a+1)}{6(a-2)}. $$

   Получаем:

   $$ x_1=\frac{-a+5-a-1}{6(a-2)}=\frac{-2a+4}{6(a-2)}=-\frac13, $$

   $$ x_2=\frac{-a+5+a+1}{6(a-2)}=\frac{6}{6(a-2)}=\frac1{a-2}. $$

   При $$D>0$$ имеем $$a>-1$$.

Ответ

1) Если $$a=1$$, то $$x=1$$; если $$a>1$$, то $$x=a$$ и $$x=3a-2$$.

2) Если $$a=\frac27$$, то $$x=2$$; если $$a>\frac27$$, то $$x=2$$ и $$x=7a$$.

3) Если $$a=-1$$, то $$x=-\frac13$$; если $$a>-1$$, то $$x=-\frac13$$ и $$x=\frac1{a-2}$$.