Упр.139 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2+(1-3a)x+2a^2-2=0;
2) x^2-(5a+7)x+35a=0;
3) 4(a+1) x^2+(a-3)x-1=0.

1. $$x^2+(1-3a)x+2a^2-2=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(1-3a)^2-4(2a^2-2)=1-6a+9a^2-8a^2+8=(a-3)^2 $$

   Если $$D=0$$, то

   $$ (a-3)^2=0 \Rightarrow a=3 $$

   Тогда

   $$ x=\frac{-(1-3a)}{2}=\frac{-(1-9)}{2}=\frac{8}{2}=4 $$

   Если $$D>0$$, то $$a>3$$, и

   $$ x_{1,2}=\frac{-(1-3a)\pm |a-3|}{2} $$

   Так как $$a>3$$, то $$|a-3|=a-3$$. Тогда

   $$ x_1=\frac{-1+3a-a+3}{2}=a+1,\qquad x_2=\frac{-1+3a+a-3}{2}=2a-2 $$

   Если $$D<0$$, корней нет.

2. $$x^2-(5a+7)x+35a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(5a+7)^2-4\cdot 35a=25a^2+70a+49-140a=25a^2-70a+49=(5a-7)^2 $$

   Если $$D=0$$, то

   $$ (5a-7)^2=0 \Rightarrow 5a-7=0 \Rightarrow a=\frac75 $$

   Тогда

   $$ x=\frac{5a+7}{2}=\frac{7+7}{2}=7 $$

   Если $$D>0$$, то $$a>\frac75$$, и

   $$ x_{1,2}=\frac{5a+7\pm |5a-7|}{2} $$

   Так как $$a>\frac75$$, то $$|5a-7|=5a-7$$. Тогда

   $$ x_1=\frac{5a+7-(5a-7)}{2}=7,\qquad x_2=\frac{5a+7+(5a-7)}{2}=5a $$

   Если $$D<0$$, корней нет.

3. $$4(a+1)x^2+(a-3)x-1=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(a-3)^2-4\cdot 4(a+1)\cdot(-1)=(a-3)^2+16(a+1)=a^2+10a+25=(a+5)^2 $$

   Если $$D=0$$, то

   $$ (a+5)^2=0 \Rightarrow a=-5 $$

   Тогда

   $$ x=\frac{-(a-3)}{2\cdot 4(a+1)}=\frac{-(-5-3)}{8(-5+1)}=\frac{8}{-32}=-\frac14 $$

   Если $$D>0$$, то $$a>-5$$, и

   $$ x_{1,2}=\frac{-(a-3)\pm |a+5|}{8(a+1)} $$

   Так как $$a>-5$$, то $$|a+5|=a+5$$. Тогда

   $$ x_1=\frac{-a+3-(a+5)}{8(a+1)}=-\frac14,\qquad x_2=\frac{-a+3+(a+5)}{8(a+1)}=\frac1{a+1} $$

   Если $$D<0$$, корней нет.

Ответ

1) при $$a=3$$: $$x=4$$; при $$a>3$$: $$x=a+1$$ и $$x=2a-2$$;
2) при $$a=\frac75$$: $$x=7$$; при $$a>\frac75$$: $$x=7$$ и $$x=5a$$;
3) при $$a=-5$$: $$x=-\frac14$$; при $$a>-5$$: $$x=-\frac14$$ и $$x=\frac1{a+1}$$.