Упр.139 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2+(1-5a)x+4a^2-a=0;
2) x^2-(3a+4)x+12a=0;
3) 2(a-1) x^2+(a+1)x+1=0.

1. $$x^2+(1-5a)x+4a^2-a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(1-5a)^2-4(4a^2-a)=1-10a+25a^2-16a^2+4a=9a^2-6a+1=(3a-1)^2. $$

   Если $$D=0$$, то

   $$3a-1=0,\quad a=\frac13.$$

   Тогда

   $$ x=\frac{-(1-5a)}{2}=\frac{5a-1}{2}=\frac{5\cdot \frac13-1}{2}=\frac13. $$

   Если $$D>0$$, то $$a>\frac13$$, и

   $$ x_1=\frac{-(1-5a)-(3a-1)}{2}=\frac{2a}{2}=a, $$

   $$ x_2=\frac{-(1-5a)+(3a-1)}{2}=\frac{8a-2}{2}=4a-1. $$

   Если $$D<0$$, то корней нет.

2. $$x^2-(3a+4)x+12a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(3a+4)^2-4\cdot 12a=9a^2+24a+16-48a=9a^2-24a+16=(3a-4)^2. $$

   Если $$D=0$$, то

   $$3a-4=0,\quad a=\frac43.$$

   Тогда

   $$ x=\frac{3a+4}{2}=\frac{3\cdot \frac43+4}{2}=4. $$

   Если $$D>0$$, то $$a>\frac43$$, и

   $$ x_1=\frac{3a+4-(3a-4)}{2}=\frac{8}{2}=4, $$

   $$ x_2=\frac{3a+4+(3a-4)}{2}=\frac{6a}{2}=3a. $$

   Если $$D<0$$, то корней нет.

3. $$2(a-1)x^2+(a+1)x+1=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(a+1)^2-4\cdot 2(a-1)=a^2+2a+1-8a+8=a^2-6a+9=(a-3)^2. $$

   Если $$D=0$$, то

   $$a-3=0,\quad a=3.$$

   Тогда

   $$ x=\frac{-(a+1)}{2\cdot 2(a-1)}=\frac{-(3+1)}{4(3-1)}=-\frac12. $$

   Если $$D>0$$, то $$a>3$$, и

   $$ x_1=\frac{-(a+1)-(a-3)}{4(a-1)}=\frac{-2a+2}{4(a-1)}=-\frac12, $$

   $$ x_2=\frac{-(a+1)+(a-3)}{4(a-1)}=\frac{-4}{4(a-1)}=-\frac{1}{a-1}. $$

   Если $$D<0$$, то корней нет.

Ответ

1) Если $$a=\frac13$$, то $$x=\frac13$$; если $$a>\frac13$$, то $$x=a$$ и $$x=4a-1$$.

2) Если $$a=\frac43$$, то $$x=4$$; если $$a>\frac43$$, то $$x=4$$ и $$x=3a$$.

3) Если $$a=3$$, то $$x=-\frac12$$; если $$a>3$$, то $$x=-\frac12$$ и $$x=-\frac{1}{a-1}$$.