Упр.135 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) |x^2-x-1|=1;
2) x^2-2|x|-8=0;
3) x|x|+8x-7=0;
4) x^2+7v(x^2 )-18=0.

1. $$|x^2-x-1|=1$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-x-1=1$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad x_2=\frac{1+3}{2}=2$$

   и

   $$x^2-x-1=-1$$

   $$x^2-x=0$$

   $$x(x-1)=0,\quad x=0 \text{ или } x=1$$

2. $$x^2-2|x|-8=0$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:

   $$x^2-2x-8=0$$

   $$D=4+32=36,\quad x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\quad x_2=\frac{2+6}{2}=4$$

   Подходит только $$x=4$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:

   $$x^2+2x-8=0$$

   $$D=4+32=36,\quad x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

   Подходит только $$x=-4$$.

3. $$x|x|+8x-7=0$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:

   $$x^2+8x-7=0$$

   $$D=64+28=92=4\cdot 23,\quad x_{1,2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{23}}{2}=-4\pm \sqrt{23}$$

   Из них подходит только $$x=-4+\sqrt{23}$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:

   $$-x^2+8x-7=0$$

   $$x^2-8x+7=0$$

   $$D=64-28=36,\quad x_1=\frac{8-6}{2}=1,\quad x_2=\frac{8+6}{2}=7$$

   Оба корня не подходят, так как должны быть меньше нуля.

4. $$x^2+7\sqrt{x^2}-18=0$$

   Так как $$\sqrt{x^2}=|x|$$, получаем:

   $$x^2+7|x|-18=0$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:

   $$x^2+7x-18=0$$

   $$D=49+72=121,\quad x_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\quad x_2=\frac{-7+11}{2}=2$$

   Подходит только $$x=2$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:

   $$x^2-7x-18=0$$

   $$D=49+72=121,\quad x_1=\frac{7-11}{2}=-2,\quad x_2=\frac{7+11}{2}=9$$

   Подходит только $$x=-2$$.

Ответ

1) $$x=-1,\ 0,\ 1,\ 2$$; 2) $$x=-4,\ 4$$; 3) $$x=-4+\sqrt{23}$$; 4) $$x=\pm 2$$.