Упр.12 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a^2+6a+10)/(a^2-10a+25) положительное;
2) (4a-4-a^2)/(a^4+1) неположительное.

1) Преобразуем знаменатель:

$$ \frac{a^2+6a+10}{a^2-10a+25}=\frac{a^2+6a+10}{(a-5)^2}. $$

Числитель можно записать так:

$$ a^2+6a+10=(a+3)^2+1. $$

Так как $$ (a+3)^2 \ge 0 $$, то $$ (a+3)^2+1>0 $$. Кроме того, при допустимых значениях переменной $$ (a-5)^2>0 $$, значит дробь положительна:

$$ \frac{a^2+6a+10}{a^2-10a+25}>0. $$

2) Преобразуем числитель:

$$ \frac{4a-4-a^2}{a^4+1}=\frac{-(a^2-4a+4)}{a^4+1}=\frac{-(a-2)^2}{a^4+1}. $$

Так как $$ (a-2)^2 \ge 0 $$, то $$ -(a-2)^2 \le 0 $$. А знаменатель всегда положителен, поскольку

$$ a^4+1>0. $$

Следовательно, дробь неположительна:

$$ \frac{4a-4-a^2}{a^4+1}\le 0. $$

Ответ

1) $$\frac{a^2+6a+10}{a^2-10a+25}>0$$; 2) $$\frac{4a-4-a^2}{a^4+1}\le 0$$.