Упр.118 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) v((3-va)^2+12va) -v((1+va)^2-4va) ;
2) v(b-2v(b+7)+8)+v(b+2v(b+7)+8).

1) Упростим выражение:

$$ \sqrt{(3-\sqrt a)^2+12\sqrt a}-\sqrt{(1+\sqrt a)^2-4\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{9-6\sqrt a+a+12\sqrt a}-\sqrt{1+2\sqrt a+a-4\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{9+6\sqrt a+a}-\sqrt{1-2\sqrt a+a} =\sqrt{(3+\sqrt a)^2}-\sqrt{(1-\sqrt a)^2} $$
$$ =|3+\sqrt a|-|1-\sqrt a|. $$
Так как $$3+\sqrt a>0$$ при любом $$a\ge 0$$, то $$|3+\sqrt a|=3+\sqrt a$$. Тогда:

если $$a\ge 1$$, то $$|1-\sqrt a|=\sqrt a-1$$, и
$$ 3+\sqrt a-(\sqrt a-1)=4; $$

если $$a<1$$, то $$|1-\sqrt a|=1-\sqrt a$$, и
$$ 3+\sqrt a-(1-\sqrt a)=2+2\sqrt a. $$

2) Упростим выражение:

$$ \sqrt{b-2\sqrt{b+7}+8}+\sqrt{b+2\sqrt{b+7}+8} $$
$$ =\sqrt{b+7-2\sqrt{b+7}+1}+\sqrt{b+7+2\sqrt{b+7}+1} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt{b+7}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{b+7}+1)^2} $$
$$ =|\sqrt{b+7}-1|+|\sqrt{b+7}+1|. $$
Так как $$\sqrt{b+7}+1>0$$, то $$|\sqrt{b+7}+1|=\sqrt{b+7}+1$$. Далее:

если $$b\ge -6$$, то $$\sqrt{b+7}\ge 1$$, значит
$$ |\sqrt{b+7}-1|=\sqrt{b+7}-1, $$
и тогда
$$ (\sqrt{b+7}-1)+(\sqrt{b+7}+1)=2\sqrt{b+7}; $$

если $$b<-6$$, то $$\sqrt{b+7}<1$$, значит
$$ |\sqrt{b+7}-1|=1-\sqrt{b+7}, $$
и тогда
$$ (1-\sqrt{b+7})+(\sqrt{b+7}+1)=2. $$

Ответ

1) $$\begin{cases} 4, & a\ge 1,\\ 2+2\sqrt a, & a<1; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 2\sqrt{b+7}, & b\ge -6,\\ 2, & b<-6. \end{cases}$$