Упр.118 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) v((va+2)^2-8va) +v((va-1)^2+4va) ;
2) v(a+2v(a+1)+2)+v(a-2v(a+1)+2).

1. $$\sqrt{(\sqrt a+2)^2-8\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-1)^2+4\sqrt a}$$

   Преобразуем подкоренные выражения:
   $$\sqrt{(\sqrt a+2)^2-8\sqrt a}=\sqrt{a+4\sqrt a+4-8\sqrt a}=\sqrt{a-4\sqrt a+4}=\sqrt{(\sqrt a-2)^2}$$
   $$\sqrt{(\sqrt a-1)^2+4\sqrt a}=\sqrt{a-2\sqrt a+1+4\sqrt a}=\sqrt{a+2\sqrt a+1}=\sqrt{(\sqrt a+1)^2}$$

   Тогда
   $$\sqrt{(\sqrt a-2)^2}+\sqrt{(\sqrt a+1)^2}=|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|.$$

   Так как $$\sqrt a+1\ge 0,$$ то $$|\sqrt a+1|=\sqrt a+1.$$
   Рассмотрим два случая:

   Если $$a\ge 4,$$ то $$|\sqrt a-2|=\sqrt a-2,$$ и
   $$|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|=\sqrt a-2+\sqrt a+1=2\sqrt a-1.$$

   Если $$0\le a<4,$$ то $$|\sqrt a-2|=2-\sqrt a,$$ и
   $$|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|=2-\sqrt a+\sqrt a+1=3.$$

2. $$\sqrt{a+2\sqrt{a+1}+2}+\sqrt{a-2\sqrt{a+1}+2}$$

   Обозначим $$t=\sqrt{a+1}.$$ Тогда $$a=t^2-1,$$ и выражение принимает вид
   $$\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2-2t+1}=\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t-1)^2}=|t+1|+|t-1|.$$

   Поскольку $$t=\sqrt{a+1}\ge 0,$$ то $$|t+1|=t+1.$$ Рассмотрим два случая:

   Если $$t\ge 1,$$ то $$|t-1|=t-1,$$ и
   $$|t+1|+|t-1|=t+1+t-1=2t=2\sqrt{a+1}.$$

   Если $$0\le t<1,$$ то $$|t-1|=1-t,$$ и
   $$|t+1|+|t-1|=t+1+1-t=2.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} 2\sqrt a-1, & a\ge 4,\\ 3, & 0\le a<4; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 2\sqrt{a+1}, & a\ge 0 \text{ и } \sqrt{a+1}\ge 1,\\ 2, & 0\le a<0 \text{?} \end{cases}$$