Упр.106 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) b/(b-16)-vb/(vb+4);
2) va/(vab+b)-vb/(a+vab);
3) (vx-10)/vx :(x-100)/7x;
4) ((vm-2)/(vm+2)+(8vm)/(m-4)) :(vm+2)/(m-2vm).

1. $$\frac{b}{b-16}-\frac{\sqrt b}{\sqrt b+4}$$
   
   Приведём к общему знаменателю:
   $$b-16=(\sqrt b-4)(\sqrt b+4), \quad b=(\sqrt b)^2.$$
   Тогда
   $$ \frac{b}{b-16}-\frac{\sqrt b}{\sqrt b+4} = \frac{b-\sqrt b(\sqrt b-4)}{(\sqrt b-4)(\sqrt b+4)}. $$
   Упростим числитель:
   $$ b-\sqrt b(\sqrt b-4)=b-b+4\sqrt b=4\sqrt b. $$
   Значит,
   $$ \frac{b}{b-16}-\frac{\sqrt b}{\sqrt b+4} = \frac{4\sqrt b}{b-16}. $$

2. $$\frac{\sqrt a}{\sqrt{ab}+b}-\frac{\sqrt b}{a+\sqrt{ab}}$$
   
   Вынесем общий множитель в знаменателях:
   $$ \sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b, $$
   поэтому
   $$ \frac{\sqrt a}{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}-\frac{\sqrt b}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{\sqrt a\cdot\sqrt a-\sqrt b\cdot\sqrt b}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)}. $$
   Так как
   $$ a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b), $$
   получаем
   $$ \frac{a-b}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)} = \frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt{ab}}. $$

3. $$\frac{\sqrt x-10}{\sqrt x}:\frac{x-100}{7x}$$
   
   Заменим деление умножением на обратную дробь:
   $$ \frac{\sqrt x-10}{\sqrt x}\cdot\frac{7x}{x-100}. $$
   Разложим разность квадратов:
   $$ x-100=(\sqrt x-10)(\sqrt x+10). $$
   Тогда
   $$ \frac{\sqrt x-10}{\sqrt x}\cdot\frac{7x}{(\sqrt x-10)(\sqrt x+10)} = \frac{7x}{\sqrt x(\sqrt x+10)}. $$
   Так как $x=\sqrt x\cdot\sqrt x$, то
   $$ \frac{7x}{\sqrt x(\sqrt x+10)}=\frac{7\sqrt x}{\sqrt x+10}. $$

4. $$ \left(\frac{\sqrt m-2}{\sqrt m+2}+\frac{8\sqrt m}{m-4}\right):\frac{\sqrt m+2}{m-2\sqrt m} $$
   
   Заметим, что
   $$ m-4=(\sqrt m-2)(\sqrt m+2), \quad m-2\sqrt m=\sqrt m(\sqrt m-2). $$
   Тогда
   $$ \frac{\sqrt m-2}{\sqrt m+2}+\frac{8\sqrt m}{(\sqrt m-2)(\sqrt m+2)} = \frac{(\sqrt m-2)^2+8\sqrt m}{(\sqrt m-2)(\sqrt m+2)}. $$
   Числитель:
   $$ (\sqrt m-2)^2+8\sqrt m=m-4\sqrt m+4+8\sqrt m=m+4\sqrt m+4=(\sqrt m+2)^2. $$
   Значит,
   $$ \left(\frac{(\sqrt m+2)^2}{(\sqrt m-2)(\sqrt m+2)}\right):\frac{\sqrt m+2}{\sqrt m(\sqrt m-2)}. $$
   Сократим и заменим деление умножением:
   $$ \frac{\sqrt m+2}{\sqrt m-2}\cdot\frac{\sqrt m(\sqrt m-2)}{\sqrt m+2}=\sqrt m. $$

Ответ

1) $$\frac{4\sqrt b}{b-16}$$

2) $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt{ab}}$$

3) $$\frac{7\sqrt x}{\sqrt x+10}$$

4) $$\sqrt m$$