Упр.106 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) a/(a-1)-va/(va+1);
2) (a+b)/(vab-b)-(2va)/(va-vb);
3) (vx-6)/vx :(x-36)/4x;
4) ((va-5)/(va+5)+(20va)/(a-25)) :(va+5)/(a-5va).

1. $$\frac{a}{a-1}-\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1}$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a(\sqrt a+1)-\sqrt a(a-1)}{(a-1)(\sqrt a+1)}$$
   $$=\frac{a\sqrt a+a-a\sqrt a+\sqrt a}{(a-1)(\sqrt a+1)}=\frac{a+\sqrt a}{(a-1)(\sqrt a+1)}$$
   Так как $$a-1=(\sqrt a-1)(\sqrt a+1),$$ получаем
   $$\frac{a+\sqrt a}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)^2}.$$
   Упростим числитель:
   $$a+\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a+1),$$
   тогда
   $$\frac{\sqrt a(\sqrt a+1)}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)^2}=\frac{\sqrt a}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)}=\frac{\sqrt a}{a-1}.$$

2. $$\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b}-\frac{2\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b}$$
   Заметим, что
   $$\sqrt{ab}-b=\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b).$$
   Тогда
   $$\frac{a+b}{\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}-\frac{2\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} =\frac{a+b-2\sqrt a\sqrt b}{\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}.$$
   Числитель представим в виде квадрата разности:
   $$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2.$$
   Значит,
   $$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt b}.$$

3. $$\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}:\frac{x-36}{4x}$$
   Заменим деление умножением на обратную дробь:
   $$\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}\cdot\frac{4x}{x-36}.$$
   Разложим разность квадратов:
   $$x-36=(\sqrt x-6)(\sqrt x+6).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}\cdot\frac{4x}{(\sqrt x-6)(\sqrt x+6)}.$$
   Сокращаем на $$\sqrt x-6$$ и учитываем, что $$x=(\sqrt x)^2$$:
   $$\frac{4x}{\sqrt x(\sqrt x+6)}=\frac{4\sqrt x}{\sqrt x+6}.$$

4. $$\left(\frac{\sqrt a-5}{\sqrt a+5}+\frac{20\sqrt a}{a-25}\right):\frac{\sqrt a+5}{a-5\sqrt a}$$
   Разложим знаменатели:
   $$a-25=(\sqrt a-5)(\sqrt a+5), \qquad a-5\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a-5).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt a-5}{\sqrt a+5}+\frac{20\sqrt a}{(\sqrt a-5)(\sqrt a+5)} =\frac{(\sqrt a-5)^2+20\sqrt a}{(\sqrt a-5)(\sqrt a+5)}.$$
   Раскроем скобки:
   $$\frac{a-10\sqrt a+25+20\sqrt a}{(\sqrt a-5)(\sqrt a+5)} =\frac{a+10\sqrt a+25}{(\sqrt a-5)(\sqrt a+5)}.$$
   Числитель — квадрат суммы:
   $$a+10\sqrt a+25=(\sqrt a+5)^2.$$
   Поэтому
   $$\frac{(\sqrt a+5)^2}{(\sqrt a-5)(\sqrt a+5)}:\frac{\sqrt a+5}{\sqrt a(\sqrt a-5)}.$$
   После сокращения получаем
   $$\frac{\sqrt a+5}{\sqrt a-5}\cdot\frac{\sqrt a(\sqrt a-5)}{\sqrt a+5}=\sqrt a.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt a}{a-1}$$

2) $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt b}$$

3) $$\frac{4\sqrt x}{\sqrt x+6}$$

4) $$\sqrt a$$