Упр.78 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:

1. $$\sqrt{x}=a-3$$;
2. $$(a-3)\sqrt{x}=0$$;
3. $$\sqrt{a(x-3)}=0$$;
4. $$(a-3)\sqrt{x}=a-3$$.

1) $$\sqrt{x}=a-3.$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то:

• если $$a<3,$$ то решений нет;
• если $$a=3,$$ то $$\sqrt{x}=0,$$ откуда $$x=0;$$
• если $$a>3,$$ то $$x=(a-3)^2.$$

2) $$(a-3)\sqrt{x}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

• если $$a=3,$$ то $$0\cdot \sqrt{x}=0,$$ значит $$x$$ — любое число, для которого определён корень, то есть $$x\ge 0;$$
• если $$a\ne 3,$$ то $$\sqrt{x}=0,$$ откуда $$x=0.$$

3) $$\sqrt{a(x-3)}=0.$$

Тогда подкоренное выражение равно нулю:

$$a(x-3)=0.$$

• если $$a=0,$$ то $$0\cdot(x-3)=0,$$ значит $$x$$ — любое число;
• если $$a\ne 0,$$ то $$x-3=0,$$ откуда $$x=3.$$

4) $$(a-3)\sqrt{x}=a-3.$$

Если $$a\ne 3,$$ то можно разделить обе части на $$a-3$$:

$$\sqrt{x}=1,$$

откуда $$x=1.$$

Если $$a=3,$$ то получаем тождество $$0=0,$$ значит $$x$$ — любое число, для которого определён корень, то есть $$x\ge 0.$$

Ответ

1) $$a<3$$ — решений нет; $$a=3$$ — $$x=0$$; $$a>3$$ — $$x=(a-3)^2.$$

2) $$a=3$$ — $$x\ge 0$$; $$a\ne 3$$ — $$x=0.$$

3) $$a=0$$ — $$x$$ любое; $$a\ne 0$$ — $$x=3.$$

4) $$a\ne 3$$ — $$x=1$$; $$a=3$$ — $$x\ge 0.$$