Упр.78 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
1) $$\sqrt{x}=a-2$$;
2) $$(a-2)\sqrt{x}=0$$;
3) $$\sqrt{a(x-2)}=0$$;
4) $$(a-2)\sqrt{x}=a-2$$.
1) $$\sqrt{x}=a-2.$$
Чтобы уравнение имело смысл, нужно $$a-2\ge 0,$$ то есть $$a\ge 2.$$
Если $$a=2,$$ то $$\sqrt{x}=0,$$ откуда $$x=0.$$
Если $$a>2,$$ то
$$x=(a-2)^2.$$
Если $$a<2,$$ решений нет.
2) $$(a-2)\sqrt{x}=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
Если $$a=2,$$ то уравнение принимает вид $$0=0,$$ значит, $$x$$ — любое число, для которого определён корень, то есть $$x\ge 0.$$
Если $$a\ne 2,$$ то
$$\sqrt{x}=0,$$
откуда $$x=0.$$
3) $$\sqrt{a(x-2)}=0.$$
Тогда подкоренное выражение равно нулю:
$$a(x-2)=0.$$
Если $$a=0,$$ то уравнение верно при любом $$x,$$ то есть $$x$$ — любое число.
Если $$a\ne 0,$$ то
$$x-2=0,$$
откуда $$x=2.$$
4) $$(a-2)\sqrt{x}=a-2.$$
Если $$a\ne 2,$$ то можно разделить обе части на $$a-2$$:
$$\sqrt{x}=1,$$
откуда $$x=1.$$
Если $$a=2,$$ то получаем тождество $$0=0,$$ значит, $$x$$ — любое число, для которого существует корень, то есть $$x\ge 0.$$
Ответ
1) $$a=2 \Rightarrow x=0;$ $a>2 \Rightarrow x=(a-2)^2;$ $a<2 \Rightarrow$$ решений нет.
2) $$a=2 \Rightarrow x\ge 0;$ $a\ne 2 \Rightarrow x=0.$$
3) $$a=0 \Rightarrow x$$ — любое число; $$a\ne 0 \Rightarrow x=2.$$
4) $$a\ne 2 \Rightarrow x=1;$ $a=2 \Rightarrow x\ge 0.$$
