Контрольная работа 7 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Сократите дробь $$\frac{27a^3b^2}{18ab^8}$$.
- Представьте в виде степени с основанием $$n$$ выражение $$(n^{-3})^4:n^{-15}$$.
- Упростите выражение $$\sqrt{16b}-0{,}5\sqrt{36b}$$.
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$?
- Докажите тождество:
$$\left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}=\frac{2}{b-4}.$$ - Первый насос наполнил водой бассейн объёмом $$360\ \text{м}^3$$, а второй — объёмом $$480\ \text{м}^3$$. Первый насос перекачивал на $$10\ \text{м}^3$$ воды в час меньше, чем второй, и работал на $$2$$ ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за $$1$$ ч каждый насос?
- Постройте график функции
$$y= \begin{cases} \sqrt{x}, & 0\leqslant x\leqslant 1,\\ x^2, & x>1. \end{cases}$$ - Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2-px+2p^2+1=0$$ не имеет корней.
$$\frac{27a^3b^2}{18ab^8}=\frac{27}{18}\cdot a^{3-1}\cdot b^{2-8}=\frac{3a^2}{2b^6}.$$
$$\left(n^{-3}\right)^4:n^{-15}=n^{-12}:n^{-15}=n^{-12-(-15)}=n^3.$$
$$\sqrt{16b}-0{,}5\sqrt{36b}=4\sqrt{b}-0{,}5\cdot 6\sqrt{b}=4\sqrt{b}-3\sqrt{b}=\sqrt{b}.$$
$$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$ имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:
$$2x^2-x-6\ne 0.$$
$$2x^2-x-6=(2x+3)(x-2),$$
откуда
$$x\ne -\frac{3}{2},\quad x\ne 2.$$
Проверим тождество:
$$\left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}=\frac{2}{b-4}.$$
Так как
$$b^2-8b+16=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4),$$
то
$$\left(\frac{b}{(b-4)^2}-\frac{b+6}{(b-4)(b+4)}\right)\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}=\frac{2}{b-4}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{b(b+4)-(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)}\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}=\frac{2}{b-4}.$$
$$b(b+4)-(b+6)(b-4)=b^2+4b-(b^2+2b-24)=2b+24=2(b+12).$$
Тогда
$$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}=\frac{2}{b-4},$$
что и требовалось доказать.
Пусть первый насос перекачивает $$x$$ м3/ч, тогда второй — $$x+10$$ м3/ч.
По условию:
$$\frac{360}{x}-\frac{480}{x+10}=2.$$
Умножим на $$x(x+10)$$:
$$360(x+10)-480x=2x(x+10).$$
$$360x+3600-480x=2x^2+20x.$$
$$2x^2+140x-3600=0.$$
$$x^2+70x-1800=0.$$
$$D=70^2+4\cdot 1800=4900+7200=12100,$$
$$\sqrt{D}=110.$$
$$x=\frac{-70\pm 110}{2}.$$
$$x_1=-90,\quad x_2=20.$$
Отрицательное значение не подходит, значит, первый насос перекачивал $$20$$ м3/ч, а второй — $$30$$ м3/ч.
График функции
$$y=\begin{cases} \sqrt{x}, & 0\le x\le 1,\\ x^2, & x>1 \end{cases}$$
состоит из двух частей: графика $$y=\sqrt{x}$$ на отрезке $$[0;1]$$ и графика $$y=x^2$$ при $$x>1$$. Ключевые точки: $$(0;0)$$, $$(1;1)$$, $$(2;4)$$, $$(3;9)$$. В точке $$x=1$$ части графика соединяются.
Рассмотрим уравнение
$$x^2-px+2p^2+1=0.$$
Его дискриминант:
$$D=p^2-4(2p^2+1)=p^2-8p^2-4=-7p^2-4.$$
Так как $$-7p^2-4<0$$ при любом $$p$$, то $$D<0$$ для всех значений $$p$$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней при любом $$p$$.
