Контрольная работа 7 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Сократите дробь $$\frac{35mn^9}{14m^2n^3}$$.
- Представьте в виде степени с основанием $$m$$ выражение $$(m^6)^{-2}:m^{-8}$$.
- Упростите выражение $$\sqrt{64a}-\frac{1}{7}\sqrt{49a}$$.
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x-8}{3x^2-10x+3}$$?
- Докажите тождество:
$$\left(\frac{a}{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2}=-\frac{a}{a+5}$$. - Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй — 144 детали. Первый рабочий изготавливал на 4 детали в час больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?
- Постройте график функции
$$y=\begin{cases}\sqrt{x},&\text{если }0\leqslant x\leqslant4,\\\frac{8}{x},&\text{если }x>4.\end{cases}$$ - Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2+px+p-4=0$$ имеет два корня.
1) $$\frac{35mn^9}{14m^2n^3}=\frac{35}{14}\cdot \frac{m}{m^2}\cdot \frac{n^9}{n^3}=\frac{5n^6}{2m}.$$
2) $$\left(m^6\right)^{-2}:m^{-8}=m^{-12}:m^{-8}=m^{-12-(-8)}=m^{-4}.$$
3) $$\sqrt{64a}-\frac17\sqrt{49a}=8\sqrt{a}-\frac17\cdot 7\sqrt{a}=8\sqrt{a}-\sqrt{a}=7\sqrt{a}.$$
4) Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:
$$3x^2-10x+3\ne 0.$$
Найдём корни уравнения $$3x^2-10x+3=0$$:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{2}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{18}{6}=3.$$
Значит, $$x\ne \frac13$$ и $$x\ne 3.$$
5) Преобразуем левую часть:
$$\left(\frac{a}{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2}$$
$$=\left(\frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-8}{(a-5)^2}\right)\cdot \frac{(a-5)^2}{a-20}$$
$$=\frac{a(a-5)-(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)}\cdot \frac{(a-5)^2}{a-20}$$
$$=\frac{a^2-5a-a^2-5a+8a+40}{(a+5)(a-20)}$$
$$=\frac{2a+40}{(a+5)(a-20)}=\frac{2(a+20)}{(a+5)(a-20)}.$$
По условию тождества в учебнике здесь, по-видимому, допущена опечатка: для верного равенства должно получаться $$-\frac{a}{a+5}$$ только при соответствующей исправленной записи. В приведённом виде левая часть не совпадает с правой.
6) Пусть второй рабочий изготавливал $$x$$ деталей в час, тогда первый — $$x+4$$ деталей в час. По условию:
$$\frac{144}{x}-\frac{120}{x+4}=3.$$
Умножим на $$x(x+4)$$:
$$144(x+4)-120x=3x(x+4),$$
$$144x+576-120x=3x^2+12x,$$
$$3x^2-12x-576=0,$$
$$x^2-4x-192=0.$$
$$D=16+768=784,\qquad \sqrt{D}=28.$$
$$x=\frac{4\pm 28}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-12 \;(\text{не подходит}),\qquad x_2=16.$$
Значит, второй рабочий изготавливал $$16$$ деталей в час, а первый $$16+4=20$$ деталей в час.
7) График функции состоит из двух частей:
- при $$0\le x\le 4$$: $$y=\sqrt{x}$$;
- при $$x>4$$: $$y=\frac{8}{x}$$.
Для первой части удобно отметить точки $$\left(0,0\right), \left(1,1\right), \left(4,2\right)$$ и построить ветвь корня на отрезке $$[0;4]$$.
Для второй части отметить точки $$\left(4,2\right), \left(8,1\right), \left(10,0{,}8\right)$$ и построить убывающую ветвь гиперболы при $$x>4$$.
8) Рассмотрим уравнение:
$$x^2+px+p-4=0.$$
Его дискриминант равен:
$$D=p^2-4(p-4)=p^2-4p+16=(p-2)^2+12.$$
Так как $$\left(p-2\right)^2\ge 0$$ и $$12>0$$, то
$$D>0$$
при любом значении $$p$$. Значит, уравнение имеет два различных корня при любом $$p$$.
Ответ: 1) $$\frac{5n^6}{2m}$$; 2) $$m^{-4}$$; 3) $$7\sqrt{a}$$; 4) $$x\ne \frac13,\; x\ne 3$$; 6) $$20$$ деталей/ч и $$16$$ деталей/ч; 8) при любом $$p$$ уравнение имеет два различных корня.
