Контрольная работа 6 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) $$x^2-4x-32=(x-8)(x+4)$$

2) $$4x^2-15x+9=(4x-3)(x-3)$$

Ход решения

1) $$x^4-35x^2-36=0$$

Сделаем замену: $$x^2=t$$. Тогда

$$t^2-35t-36=0$$

$$D=35^2+4\cdot 36=1225+144=1369=37^2$$

$$t_1=\frac{35+37}{2}=36,\qquad t_2=\frac{35-37}{2}=-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2=36 \Rightarrow x=\pm 6$$

$$x^2=-1$$ — действительных решений нет.

Итак, $$x=\pm 6$$.

2) $$\frac{x^2-7x}{x+2}=\frac{18}{x+2}$$, $$x\ne -2$$

Умножим обе части на $$x+2$$:

$$x^2-7x=18$$

$$x^2-7x-18=0$$

$$D=49+72=121=11^2$$

$$x_1=\frac{7+11}{2}=9,\qquad x_2=\frac{7-11}{2}=-2$$

Так как $$x\ne -2$$, подходит только $$x=9$$.

3) $$\frac{4a^2+a-3}{a^2-1}$$

Разложим на множители:

$$4a^2+a-3=(4a-3)(a+1),\qquad a^2-1=(a-1)(a+1)$$

Тогда

$$\frac{4a^2+a-3}{a^2-1}=\frac{(4a-3)(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{4a-3}{a-1}$$

при $$a\ne \pm 1$$.

4) $$\frac{10}{x^2-100}+\frac{x-20}{x^2+10x}-\frac{5}{x^2-10x}=0$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne \pm 10$$.

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{10}{(x-10)(x+10)}+\frac{x-20}{x(x+10)}-\frac{5}{x(x-10)}=0$$

После умножения на $$x(x-10)(x+10)$$ получаем:

$$10x+(x-20)(x-10)-5(x+10)=0$$

$$10x+x^2-30x+200-5x-50=0$$

$$x^2-25x+150=0$$

$$D=25^2-4\cdot 150=625-600=25$$

$$x_1=\frac{25+5}{2}=15,\qquad x_2=\frac{25-5}{2}=10$$

Число $$10$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=15$$.

5) Пусть скорость второго автомобиля равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первого — $$x+10$$ км/ч.

Время в пути:

$$\frac{300}{x}$$ и $$\frac{300}{x+10}$$.

По условию:

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$

$$300(x+10)-300x=x(x+10)$$

$$3000=x^2+10x$$

$$x^2+10x-3000=0$$

$$D=10^2+4\cdot 3000=12100=110^2$$

$$x_1=\frac{-10+110}{2}=50,\qquad x_2=\frac{-10-110}{2}=-60$$

Отрицательное значение не подходит, значит скорость второго автомобиля $$50$$ км/ч, а первого $$60$$ км/ч.

6) $$y=\frac{x^2+2x-15}{x-3}$$, $$x\ne 3$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$$

Тогда

$$y=\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=x+5,\qquad x\ne 3$$

График — прямая $$y=x+5$$ с выколотой точкой $$\left(3;8\right)$$.

Для построения можно взять точки:

$$x=0 \Rightarrow y=5,\qquad x=-5 \Rightarrow y=0$$

Проводим прямую через точки $$\left(0;5\right)$$ и $$\left(-5;0\right)$$, исключая точку $$\left(3;8\right)$$.

Ответ

1) $$x^2-4x-32=(x-8)(x+4)$$, $$4x^2-15x+9=(4x-3)(x-3)$$;

2) $$x=\pm 6$$; $$x=9$$;

3) $$\frac{4a-3}{a-1}$$, $$a\ne \pm 1$$;

4) $$x=15$$;

5) $$50$$ км/ч и $$60$$ км/ч;

6) $$y=x+5$$, $$x\ne 3$$, выколотая точка $$\left(3;8\right)$$.