Контрольная работа 6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Разложите на множители квадратный трёхчлен:
1) $$x^2+10x-24$$;
2) $$3x^2-11x+6$$. - Решите уравнение:
1) $$x^4-24x^2-25=0$$;
2) $$\frac{x^2+5x}{x-1}=\frac{6}{x-1}$$. - Сократите дробь $$\frac{3a^2-5a-2}{a^2-4}$$.
- Решите уравнение:
$$\frac{6}{x^2-36}-\frac{3}{x^2-6x}+\frac{x-12}{x^2+6x}=0$$. - Пассажирский поезд проходит расстояние, равное $$120$$ км, на $$1$$ ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на $$20$$ км/ч меньше скорости пассажирского.
- Постройте график функции $$y=\frac{x^2-x-12}{x-4}$$.
1.
1) $$x^2+10x-24=(x+12)(x-2).$$
2) $$3x^2-11x+6=(3x-2)(x-3).$$
2.
1) Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда
$$t^2-24t-25=0.$$
$$D=24^2+4\cdot 25=576+100=676,$$
$$t_{1,2}=\frac{24\pm 26}{2}.$$
Получаем $$t_1=25,\quad t_2=-1.$$
Тогда
$$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5,$$
$$x^2=-1$$
действительных решений не имеет.
2) Область допустимых значений: $$x\ne 1.$$
$$\frac{x^2+5x}{x-1}=\frac{6}{x-1}$$
$$x^2+5x=6$$
$$x^2+5x-6=0$$
$$(x+6)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=-6$$ или $$x=1,$$ но $$x=1$$ не подходит.
3.
$$\frac{3a^2-5a-2}{a^2-4}=\frac{(3a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{3a+1}{a+2},$$
$$a\ne \pm 2.$$
4.
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne \pm 6.$$
$$\frac{6}{x^2-36}-\frac{3}{x^2-6x}+\frac{x-12}{x^2+6x}=0$$
$$\frac{6}{(x-6)(x+6)}-\frac{3}{x(x-6)}+\frac{x-12}{x(x+6)}=0.$$
Умножим на $$x(x-6)(x+6):$$
$$6x-3(x+6)+(x-12)(x-6)=0.$$
$$6x-3x-18+x^2-18x+72=0$$
$$x^2-15x+54=0.$$
$$(x-6)(x-9)=0.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=9.$$
5.
Пусть скорость товарного поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость пассажирского — $$x+20$$ км/ч.
Время движения:
$$\frac{120}{x}$$ и $$\frac{120}{x+20}.$$
По условию:
$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1.$$
$$120(x+20)-120x=x(x+20).$$
$$2400=x^2+20x.$$
$$x^2+20x-2400=0.$$
$$D=20^2+4\cdot 2400=10000,$$
$$x=\frac{-20\pm 100}{2}.$$
Получаем $$x_1=-60$$, $$x_2=40.$$
Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда $$40$$ км/ч, а пассажирского $$60$$ км/ч.
6.
$$y=\frac{x^2-x-12}{x-4}=\frac{(x-4)(x+3)}{x-4}=x+3,\quad x\ne 4.$$
График — прямая $$y=x+3$$ с выколотой точкой при $$x=4.$$
Для построения удобно взять точки:
$$x=0 \Rightarrow y=3,$$
$$x=-3 \Rightarrow y=0.$$
Значит, график проходит через точки $$(0,3)$$ и $$(-3,0)$$, но точка $$(4,7)$$ на графике не принадлежит функции.
