Упр.58 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $$\frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{m^{-4}-25}{m^{-8}}\cdot\frac{1}{m^{-2}-5}$$;

2) $$\left(\frac{5a^{-6}}{a^{-12}-14a^{-6}+49}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7}\right)\cdot\frac{49-a^{-12}}{12-a^{-6}}+\frac{14a^{-6}}{a^{-6}-7}$$.

Подробный ответ

1) $$\frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{m^{-4}-25}{m^{-8}}\cdot\frac{1}{m^{-2}-5}$$

Заметим, что $$m^{-4}-25=(m^{-2}-5)(m^{-2}+5).$$ Тогда

$$\frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{(m^{-2}-5)(m^{-2}+5)}{m^{-8}}\cdot\frac{1}{m^{-2}-5}$$

Сократим на $$m^{-2}-5$$:

$$\frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{m^{-2}+5}{m^{-8}}=\frac{m^{-2}-5-m^{-2}-5}{m^{-8}}=\frac{-10}{m^{-8}}=-10m^8.$$

2) $$\left(\frac{5a^{-6}}{a^{-12}-14a^{-6}+49}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7}\right)\cdot\frac{49-a^{-12}}{12-a^{-6}}+\frac{14a^{-6}}{a^{-6}-7}$$

Преобразуем знаменатель первой дроби:

$$a^{-12}-14a^{-6}+49=(a^{-6}-7)^2.$$

Тогда

$$\frac{5a^{-6}}{(a^{-6}-7)^2}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7} =\frac{5a^{-6}-a^{-6}(a^{-6}-7)}{(a^{-6}-7)^2} =\frac{12a^{-6}-a^{-12}}{(a^{-6}-7)^2}.$$

Кроме того,

$$49-a^{-12}=-(a^{-12}-49)=-(a^{-6}-7)(a^{-6}+7).$$

Тогда

$$\left(\frac{12a^{-6}-a^{-12}}{(a^{-6}-7)^2}\right)\cdot\frac{49-a^{-12}}{12-a^{-6}} =\frac{a^{-6}(12-a^{-6})}{(a^{-6}-7)^2}\cdot\frac{-(a^{-6}-7)(a^{-6}+7)}{12-a^{-6}}$$

$$=-\frac{a^{-6}(a^{-6}+7)}{a^{-6}-7}.$$

Теперь прибавим последнюю дробь:

$$-\frac{a^{-6}(a^{-6}+7)}{a^{-6}-7}+\frac{14a^{-6}}{a^{-6}-7} =\frac{-a^{-12}-7a^{-6}+14a^{-6}}{a^{-6}-7} =\frac{-a^{-12}+7a^{-6}}{a^{-6}-7}$$

$$=\frac{-a^{-6}(a^{-6}-7)}{a^{-6}-7}=-a^{-6}=-\frac{1}{a^6}.$$