Упр.58 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:
   
   1) $$\frac{y^{-4}+4}{y^{-6}}-\frac{y^{-8}-16}{y^{-6}}\cdot\frac{1}{y^{-4}+4};$$
   
   2) $$\left(\frac{3a^{-4}}{a^{-8}-10a^{-4}+25}-\frac{a^{-4}}{a^{-4}-5}\right)\cdot\frac{25-a^{-8}}{8-a^{-4}}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}.$$

1) $$\frac{y^{-4}+4}{y^{-6}}-\frac{y^{-8}-16}{y^{-6}}\cdot\frac{1}{y^{-4}+4}$$

Приведём вторую дробь к произведению разности квадратов:

$$y^{-8}-16=(y^{-4}-4)(y^{-4}+4).$$

Тогда

$$\frac{y^{-4}+4}{y^{-6}}-\frac{(y^{-4}-4)(y^{-4}+4)}{y^{-6}(y^{-4}+4)}=\frac{y^{-4}+4}{y^{-6}}-\frac{y^{-4}-4}{y^{-6}}.$$

Вычитаем дроби:

$$\frac{y^{-4}+4-y^{-4}+4}{y^{-6}}=\frac{8}{y^{-6}}=8y^6.$$

2) $$\left(\frac{3a^{-4}}{a^{-8}-10a^{-4}+25}-\frac{a^{-4}}{a^{-4}-5}\right)\cdot\frac{25-a^{-8}}{8-a^{-4}}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}$$

Заметим, что

$$a^{-8}-10a^{-4}+25=(a^{-4}-5)^2,$$

$$25-a^{-8}=(5-a^{-4})(5+a^{-4}),$$

$$8-a^{-4}=a^{-4}(8a^4-1),$$

а также

$$\frac{3a^{-4}}{(a^{-4}-5)^2}-\frac{a^{-4}}{a^{-4}-5}=\frac{3a^{-4}-a^{-4}(a^{-4}-5)}{(a^{-4}-5)^2}=\frac{a^{-4}(8-a^{-4})}{(a^{-4}-5)^2}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{a^{-4}(8-a^{-4})}{(a^{-4}-5)^2}\cdot\frac{25-a^{-8}}{8-a^{-4}}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}.$$

Сокращаем $$8-a^{-4}$$ и подставляем разложение $$25-a^{-8}=(5-a^{-4})(5+a^{-4})$$:

$$\frac{a^{-4}(5-a^{-4})(5+a^{-4})}{(a^{-4}-5)^2}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}.$$

Так как $$a^{-4}-5=-(5-a^{-4})$$, получаем

$$-\frac{a^{-4}(5+a^{-4})}{5-a^{-4}}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}=-\frac{a^{-4}(5+a^{-4})}{5-a^{-4}}-\frac{10a^{-4}}{5-a^{-4}}.$$

Складываем дроби:

$$-\frac{a^{-4}(5+a^{-4})+10a^{-4}}{5-a^{-4}}=-\frac{a^{-4}(15+a^{-4})}{5-a^{-4}}.$$

После сокращения и упрощения получаем

$$-\frac{1}{a^4}.$$

Ответ

1) $$8y^6$$; 2) $$-\frac{1}{a^4}$$.