Упр.58 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $$\frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{x^{-6}-9}{x^{-5}}\cdot\frac{1}{x^{-3}-3}$$;

2) $$\left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6}-\frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot\frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$$.

1) $$\frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{x^{-6}-9}{x^{-5}}\cdot\frac{1}{x^{-3}-3}$$

Так как $$x^{-6}-9=(x^{-3}-3)(x^{-3}+3),$$ то

$$\frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{(x^{-3}-3)(x^{-3}+3)}{x^{-5}}\cdot\frac{1}{x^{-3}-3}$$

$$=\frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{x^{-3}+3}{x^{-5}}$$

$$=\frac{x^{-3}-3-(x^{-3}+3)}{x^{-5}}=\frac{-6}{x^{-5}}=-6x^5.$$

2) $$\left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6}-\frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot\frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$$

Заметим, что

$$a^{-10}-12a^{-5}+36=(a^{-5}-6)^2,$$

$$36-a^{-10}=(6-a^{-5})(6+a^{-5}).$$

Тогда

$$\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6}-\frac{2a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2} =\frac{a^{-5}(a^{-5}-6)-2a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2} =\frac{a^{-10}-8a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{a^{-10}-8a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2}\cdot\frac{(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}.$$

Так как $$a^{-10}-8a^{-5}=a^{-5}(a^{-5}-8),$$ получаем

$$\frac{a^{-5}(a^{-5}-8)(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{(a^{-5}-6)^2(a^{-5}-8)}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$$

$$=\frac{a^{-5}(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{(a^{-5}-6)^2}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}.$$

Поскольку $$6-a^{-5}=-(a^{-5}-6),$$ то

$$\frac{a^{-5}(6+a^{-5})}{6-a^{-5}}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6} =-\frac{a^{-5}(6+a^{-5})}{a^{-5}-6}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$$

$$=\frac{-a^{-5}(6+a^{-5})+12a^{-5}}{a^{-5}-6} =\frac{-a^{-10}+6a^{-5}}{a^{-5}-6} =-a^{-5}.$$

Значит,

$$-a^{-5}=-\frac{1}{a^5}.$$

Ответ: 1) $$-6x^5$$; 2) $$-\frac{1}{a^5}$$.