Упр.57 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:
1) $$\left(a^{-6}+3\right)\left(a^{-6}-3\right)-\left(a^{-6}+4\right)^2$$;
2) $$\frac{a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}}$$;
3) $$\frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{n^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}}$$;
4) $$\frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}:\frac{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}{b^{-8}}$$.

Подробный ответ

1) $$\begin{aligned} (a^{-6}+3)(a^{-6}-3)-(a^{-6}+4)^2&=a^{-12}-9-(a^{-12}+8a^{-6}+16)\\ &=a^{-12}-9-a^{-12}-8a^{-6}-16\\ &=-8a^{-6}-25. \end{aligned}$$

2) $$\begin{aligned} \frac{a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} &=\frac{(a^{-1}+b^{-1})^2}{a^{-1}+b^{-1}}\\ &=a^{-1}+b^{-1}. \end{aligned}$$

3) $$\begin{aligned} \frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{n^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}} &=\frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-2}(m^{-2}-n^{-3})}-\frac{n^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}}\\ &=\frac{m^{-4}+n^{-6}-2m^{-2}n^{-3}}{2m^{-2}(m^{-2}-n^{-3})}\\ &=\frac{(m^{-2}-n^{-3})^2}{2m^{-2}(m^{-2}-n^{-3})}\\ &=\frac{m^{-2}-n^{-3}}{2m^{-2}}. \end{aligned}$$

4) $$\begin{aligned} \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}:\frac{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}{b^{-8}} &=\frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}\cdot\frac{b^{-8}}{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}\\ &=\frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}\cdot\frac{b^{-8}}{b^{-9}(a^{-6}b^6+1)}\\ &=\frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}\cdot\frac{b}{a^{-6}b^6+1}. \end{aligned}$$

Так как $$a^{-6}+b^{-6}=\frac{a^6+b^6}{a^6b^6}$$, а $$a^{-6}b^6+1=\frac{a^6+b^6}{a^6}$$, то

$$\begin{aligned} \frac{a^{-6}+b^{-6}}{b^{-7}}:\frac{a^{-6}b^{-3}+b^{-9}}{b^{-8}} &=\frac{a^6+b^6}{a^6b^6}\cdot b^7\cdot \frac{b}{(a^6+b^6)/a^6}\\ &=b^2. \end{aligned}$$