Упр.57 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\left(x^{-4}+5\right)\left(x^{-4}-5\right)-\left(x^{-4}+6\right)^2$$;
   2) $$\frac{x^{-3}-y^{-3}}{x^{-2}+x^{-1}y^{-1}+y^{-2}}$$;
   3) $$\frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$$;
   4) $$\frac{m^{-3}-n^{-3}}{m^{-4}}:\frac{m^{-3}n^{-3}-m^{-6}}{m^{-5}}$$.

1) $$\left(x^{-4}+5\right)\left(x^{-4}-5\right)-\left(x^{-4}+6\right)^2$$

$$=x^{-8}-25-\left(x^{-8}+12x^{-4}+36\right)$$

$$=x^{-8}-25-x^{-8}-12x^{-4}-36=-12x^{-4}-61.$$

2) $$\frac{x^{-3}-y^{-3}}{x^{-2}+x^{-1}y^{-1}+y^{-2}}$$

$$=\frac{\left(x^{-1}-y^{-1}\right)\left(x^{-2}+x^{-1}y^{-1}+y^{-2}\right)}{x^{-2}+x^{-1}y^{-1}+y^{-2}}=x^{-1}-y^{-1}.$$

3) $$\frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$$

$$=\frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-1}\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$$

$$=\frac{a^{-2}+b^{-2}+2a^{-1}b^{-1}}{2a^{-1}\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}$$

$$=\frac{\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2}{2a^{-1}\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}=\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2a^{-1}}.$$

4) $$\frac{m^{-3}-n^{-3}}{m^{-4}}:\frac{m^{-3}n^{-3}-m^{-6}}{m^{-5}}$$

$$=\frac{m^{-3}-n^{-3}}{m^{-4}}\cdot\frac{m^{-5}}{m^{-3}n^{-3}-m^{-6}}$$

$$=\frac{(m^{-3}-n^{-3})m^{-5}}{m^{-4}\cdot m^{-3}(n^{-3}-m^{-3})}$$

$$=\frac{-m^{-5}(n^{-3}-m^{-3})}{m^{-7}(n^{-3}-m^{-3})}=-\frac{1}{m^{-2}}=-m^2.$$

Ответ: 1) $$-12x^{-4}-61$$; 2) $$x^{-1}-y^{-1}$$; 3) $$\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2a^{-1}}$$; 4) $$-m^2$$.