Упр.57 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:
1) $$\left(a^{-3}+2\right)\left(a^{-3}-2\right)-\left(a^{-3}+3\right)^2$$;
2) $$\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-1}-y^{-1}}$$;
3) $$\frac{x^{-2}-5y^{-4}}{4x^{-1}y^{-2}+4y^{-4}}+\frac{y^{-2}}{x^{-1}+y^{-2}}$$;
4) $$\frac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-6}}:\frac{x^{-2}y^{-2}+x^{-4}}{x^{-4}}$$.

1. $$\begin{aligned} (a^{-3}+2)(a^{-3}-2)-(a^{-3}+3)^2 &= a^{-6}-4-\left(a^{-6}+6a^{-3}+9\right) \\ &= a^{-6}-4-a^{-6}-6a^{-3}-9 \\ &= -6a^{-3}-13. \end{aligned}$$

2. $$\begin{aligned} \frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-1}-y^{-1}} &= \frac{(x^{-1}-y^{-1})(x^{-1}+y^{-1})}{x^{-1}-y^{-1}} \\ &= x^{-1}+y^{-1}. \end{aligned}$$

3. $$\begin{aligned} \frac{x^{-2}-5y^{-4}}{4x^{-1}y^{-2}+4y^{-4}}+\frac{y^{-2}}{x^{-1}+y^{-2}} &= \frac{x^{-2}-5y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1}+y^{-2})}+\frac{y^{-2}}{x^{-1}+y^{-2}} \\ &= \frac{x^{-2}-5y^{-4}+4y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1}+y^{-2})} \\ &= \frac{x^{-2}-y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1}+y^{-2})} \\ &= \frac{(x^{-1}-y^{-2})(x^{-1}+y^{-2})}{4y^{-2}(x^{-1}+y^{-2})} \\ &= \frac{x^{-1}-y^{-2}}{4y^{-2}}. \end{aligned}$$

4. $$\begin{aligned} \frac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-6}}:\frac{x^{-2}y^{-2}+x^{-4}}{x^{-4}} &= \frac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-6}}\cdot \frac{x^{-4}}{x^{-2}y^{-2}+x^{-4}} \\ &= \frac{(x^{-2}+y^{-2})x^{-4}}{x^{-6}(x^{-2}y^{-2}+x^{-4})} \\ &= \frac{x^{-6}+x^{-4}y^{-2}}{x^{-8}y^{-2}+x^{-10}} \\ &= \frac{x^{-4}(x^{-2}+y^{-2})}{x^{-10}(xy^2+1)} \\ &= x^4. \end{aligned}$$