Контрольная работа 5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) Решим уравнения:

1. $$4x^2-20=0$$
   $$4x^2=20$$
   $$x^2=5$$
   $$x=\pm\sqrt{5}$$
2. $$3x^2+5x=0$$
   $$x(3x+5)=0$$
   $$x=0 \text{ или } 3x+5=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-\frac{5}{3}$$
3. $$x^2-5x-24=0$$
   $$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=-24$$
   $$x_1=8,\quad x_2=-3$$
4. $$7x^2-22x+3=0$$
   $$D=(-22)^2-4\cdot 7\cdot 3=484-84=400$$
   $$x=\frac{22\pm\sqrt{400}}{2\cdot 7}=\frac{22\pm 20}{14}$$
   $$x_1=\frac{1}{7},\quad x_2=3$$
5. $$7x^2-6x+2=0$$
   $$D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot 2=36-56=-20<0$$ Корней нет.
6. $$4x^2+12x+9=0$$
   $$\left(2x+3\right)^2=0$$
   $$2x+3=0$$
   $$x=-\frac{3}{2}$$

2) Для приведённого квадратного уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=6,\quad x_1x_2=4$$

Значит, $$b=-6,\quad c=4$$, поэтому

$$x^2-6x+4=0.$$

3) Пусть диагональ прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда его стороны равны $$x-6$$ см и $$x-3$$ см. По теореме Пифагора:

$$\left(x-6\right)^2+\left(x-3\right)^2=x^2$$

$$x^2-12x+36+x^2-6x+9=x^2$$

$$x^2-18x+45=0$$

$$x_1=15,\quad x_2=3$$

Подходит только $$x=15$$, так как стороны должны быть положительными. Тогда

$$15-6=9,\quad 15-3=12.$$

4) Так как число $$4$$ — корень уравнения $$3x^2+bx+4=0$$, подставим $$x=4$$:

$$3\cdot 4^2+4b+4=0$$

$$48+4b+4=0$$

$$4b=-52$$

$$b=-13$$

Найдём второй корень по теореме Виета:

$$x_1x_2=\frac{4}{3}$$

$$4\cdot x_2=\frac{4}{3}$$

$$x_2=\frac{1}{3}$$

5) Уравнение $$2x^2-8x+a=0$$ имеет единственный корень, если $$D=0$$:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot a=64-8a$$

$$64-8a=0$$

$$a=8$$

6) Для уравнения $$x^2+10x-4=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-10,\quad x_1x_2=-4$$

Тогда

$$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2$$

$$x_1^2+x_2^2=(-10)^2-2\cdot(-4)=100+8=108.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{5};\ x=0,\ -\frac{5}{3};\ x=-3,\ 8;\ x=\frac{1}{7},\ 3;\ \text{корней нет};\ x=-\frac{3}{2}.$$
2) $$x^2-6x+4=0.$$
3) $$9\text{ см и }12\text{ см}.$$
4) $$b=-13,\ x_2=\frac{1}{3}.$$
5) $$a=8.$$
6) $$108.$$