Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$7x^2-21=0$$;
2) $$5x^2+9x=0$$;
3) $$x^2+x-42=0$$;
4) $$3x^2-28x+9=0$$;
5) $$2x^2-8x+11=0$$;
6) $$16x^2-8x+1=0$$. - Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна $$-10$$, а произведение — числу $$8$$.
- Диагональ прямоугольника на $$8$$ см больше одной из его сторон и на $$4$$ см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.
- Число $$-3$$ является корнем уравнения $$2x^2+7x+c=0$$. Найдите значение $$c$$ и второй корень уравнения.
- При каком значении $$a$$ уравнение $$3x^2-6x+a=0$$ имеет единственный корень?
- Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+12x+6=0$$. Не решая уравнения, найдите значение выражения $$(x_1)^2+(x_2)^2$$.
1) $$7x^2-21=0$$
$$7x^2=21$$
$$x^2=3$$
$$x=\pm\sqrt{3}$$
2) $$5x^2+9x=0$$
$$x(5x+9)=0$$
$$x=0 \text{ или } 5x+9=0$$
$$5x=-9$$
$$x=-\frac{9}{5}$$
3) $$x^2+x-42=0$$
Подбираем корни: $$x_1=-7,\; x_2=6$$, так как
$$(-7)+6=-1,\qquad (-7)\cdot 6=-42.$$
4) $$3x^2-28x+9=0$$
$$D=(-28)^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676$$
$$\sqrt{D}=26$$
$$x_{1,2}=\frac{28\pm 26}{2\cdot 3}$$
$$x_1=\frac{28-26}{6}=\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{28+26}{6}=9$$
5) $$2x^2-8x+11=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 11=64-88=-24<0$$
Действительных корней нет.
6) $$16x^2-8x+1=0$$
$$16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$
$$4x-1=0$$
$$x=\frac14$$
Ответ
1) $$x=\pm\sqrt{3}$$; 2) $$x=0,\; x=-\frac95$$; 3) $$x=-7,\; x=6$$; 4) $$x=\frac13,\; x=9$$; 5) корней нет; 6) $$x=\frac14$$.
2) $$x^2+10x+8=0$$
3) Пусть диагональ прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда его стороны равны $$x-8$$ см и $$x-4$$ см. По теореме Пифагора:
$$(x-8)^2+(x-4)^2=x^2$$
$$x^2-24x+80=0$$
$$D=24^2-4\cdot 80=576-320=256$$
$$x=\frac{24\pm 16}{2}$$
$$x_1=20,\qquad x_2=4$$
Подходит только $$x=20$$, тогда стороны прямоугольника:
$$20-8=12\text{ см},\qquad 20-4=16\text{ см}.$$
4) Так как $$-3$$ — корень уравнения $$2x^2+7x+c=0$$, подставим его:
$$2\cdot (-3)^2+7\cdot (-3)+c=0$$
$$18-21+c=0$$
$$c=3$$
Тогда уравнение имеет вид $$2x^2+7x+3=0$$. По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac72,\qquad x_1x_2=\frac32.$$
Если $$x_1=-3$$, то
$$x_2=-\frac72-(-3)=-\frac12.$$
5) Уравнение $$3x^2-6x+a=0$$ имеет единственный корень при $$D=0$$:
$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot a=36-12a$$
$$36-12a=0$$
$$a=3$$
6) Для уравнения $$x^2+12x+6=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-12,\qquad x_1x_2=6.$$
Тогда
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-12)^2-2\cdot 6=144-12=132.$$
Ответ
2) $$x^2+10x+8=0$$; 3) $$12\text{ см и }16\text{ см}$$; 4) $$c=3,\; x_2=-\frac12$$; 5) $$a=3$$; 6) $$132$$.
