Упр.42 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение: 1) $$\frac{x+6}{x-a}=0$$; 2) $$\frac{x+a}{x-8}=0$$; 3) $$\frac{(a+2)(x-a)}{x-9}=0$$; 4) $$\frac{(x+a)(x-2)}{x-5}=0$$.

Рассмотрим каждое уравнение. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. $$\frac{x+6}{x-a}=0$$

   Тогда

   $$x+6=0,\qquad x-a\ne 0.$$

   Отсюда $$x=-6.$$

   Проверим знаменатель: $$-6-a\ne 0,$$ то есть $$a\ne -6.$$

   Если $$a\ne -6,$$ то $$x=-6.$$ Если $$a=-6,$$ то корней нет.

2. $$\frac{x+a}{x-8}=0$$

   Тогда

   $$x+a=0,\qquad x-8\ne 0.$$

   Отсюда $$x=-a.$$

   Проверим знаменатель: $$-a\ne 8,$$ то есть $$a\ne -8.$$

   Если $$a\ne -8,$$ то $$x=-a.$$ Если $$a=-8,$$ то корней нет.

3. $$\frac{(a+2)(x-a)}{x-9}=0$$

   Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — нет:

   $$(a+2)(x-a)=0,\qquad x\ne 9.$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a=-2,$$ то числитель равен нулю при любом $$x,$$ кроме $$x=9$$;
   • если $$a\ne -2,$$ то из $$x-a=0$$ получаем $$x=a,$$ при этом нужно, чтобы $$a\ne 9.$$

   Итак, если $$a=-2,$$ то $$x$$ — любое число, кроме $$9$$; если $$a\ne -2$$ и $$a\ne 9,$$ то $$x=a$$; если $$a=9,$$ то корней нет.

4. $$\frac{(x+a)(x-2)}{x-5}=0$$

   Тогда

   $$(x+a)(x-2)=0,\qquad x\ne 5.$$

   Отсюда

   $$x=-a \quad \text{или} \quad x=2.$$

   Проверим ограничение $$x\ne 5.$$

   Если $$a=-5,$$ то корень $$x=-a=5$$ не подходит, остаётся $$x=2.$$

   Если $$a\ne -5,$$ то подходят оба корня: $$x=2$$ и $$x=-a.$$

Ответ:

1) если $$a\ne -6,$$ то $$x=-6,$$ если $$a=-6,$$ то корней нет;

2) если $$a\ne -8,$$ то $$x=-a,$$ если $$a=-8,$$ то корней нет;

3) если $$a=-2,$$ то $$x$$ — любое число, кроме $$9$$; если $$a\ne -2$$ и $$a\ne 9,$$ то $$x=a,$$ если $$a=9,$$ то корней нет;

4) если $$a=-5,$$ то $$x=2,$$ если $$a\ne -5,$$ то $$x=2$$ или $$x=-a.$$