Упр.42 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение: 1) $$\frac{x-1}{x+a}=0$$; 2) $$\frac{x-a}{x+4}=0$$; 3) $$\frac{(a-1)(x+a)}{x-3}=0$$; 4) $$\frac{x-a}{(x-5)(x+6)}=0$$.

1) $$\frac{x-1}{x+a}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x-1=0,\qquad x+a\ne 0.$$

Отсюда $$x=1,$$ а условие на знаменатель даёт $$1+a\ne 0,\qquad a\ne -1.$$

Значит, если $$a\ne -1,$$ то $$x=1;$$ если $$a=-1,$$ корней нет.

2) $$\frac{x-a}{x+4}=0$$

Тогда

$$x-a=0,\qquad x+4\ne 0.$$

Получаем $$x=a,$$ при этом $$a\ne -4.$$

Значит, если $$a\ne -4,$$ то $$x=a;$$ если $$a=-4,$$ корней нет.

3) $$\frac{(a-1)(x+a)}{x-3}=0$$

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$(a-1)(x+a)=0,\qquad x-3\ne 0.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$a-1=0,$$ то $$a=1,$$ и числитель равен нулю при любом $$x,$$ кроме $$x=3$$;
• если $$a-1\ne 0,$$ то нужно $$x+a=0,$$ то есть $$x=-a,$$ причём $$-a\ne 3,$$ значит $$a\ne -3.$$

Итак, если $$a=1,$$ то $$x$$ — любое число, кроме $$3$$; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne -3,$$ то $$x=-a;$$ если $$a=-3,$$ корней нет.

4) $$\frac{x-a}{(x-5)(x+6)}=0$$

Нуль дроби возможен, когда

$$x-a=0,\qquad (x-5)(x+6)\ne 0.$$

Отсюда $$x=a,$$ а также $$a\ne 5$$ и $$a\ne -6.$$

Значит, если $$a\ne 5$$ и $$a\ne -6,$$ то $$x=a;$$ если $$a=5$$ или $$a=-6,$$ корней нет.

Ответ:

1) если $$a\ne -1,$$ то $$x=1,$$ если $$a=-1,$$ корней нет;

2) если $$a\ne -4,$$ то $$x=a,$$ если $$a=-4,$$ корней нет;

3) если $$a=1,$$ то $$x$$ — любое число, кроме $$3$$; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne -3,$$ то $$x=-a;$$ если $$a=-3,$$ корней нет;

4) если $$a\ne 5$$ и $$a\ne -6,$$ то $$x=a;$$ если $$a=5$$ или $$a=-6,$$ корней нет.