Упр.42 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения a решите уравнение:
1) $$\frac{x-3}{x-a}=0$$;
2) $$\frac{x-a}{x-2}=0$$;
3) $$\frac{a(x-a)}{x-2}=0$$;
4) $$\frac{(x-5)(x+6)}{x-a}=0$$.

1) $$\frac{x-3}{x-a}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x-3=0,\qquad x-a\ne 0.$$

Отсюда $$x=3,$$ и нужно, чтобы $$3-a\ne 0,$$ то есть $$a\ne 3.$$

Если $$a=3,$$ то при $$x=3$$ знаменатель обращается в нуль, значит корней нет.

2) $$\frac{x-a}{x-2}=0$$

Тогда

$$x-a=0,\qquad x-2\ne 0.$$

Получаем $$x=a,$$ и должно быть $$a\ne 2.$$

Если $$a=2,$$ то корней нет.

3) $$\frac{a(x-a)}{x-2}=0$$

Произведение в числителе равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при этом знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$a=0 \quad \text{или} \quad x-a=0,\qquad x-2\ne 0.$$

Если $$a=0,$$ то уравнение принимает вид $$0=0$$ при условии $$x\ne 2,$$ значит корнем является любое число, кроме $$2.$$

Если $$a\ne 0,$$ то из $$x-a=0$$ получаем $$x=a,$$ причём $$a\ne 2.$$

Если $$a=2,$$ то корней нет.

4) $$\frac{(x-5)(x+6)}{x-a}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x-5=0 \quad \text{или} \quad x+6=0,\qquad x-a\ne 0.$$

Отсюда $$x=5$$ или $$x=-6.$$

Если $$a\ne 5$$ и $$a\ne -6,$$ то корни: $$x=5$$ и $$x=-6.$$

Если $$a=5,$$ то корень $$x=-6.$$

Если $$a=-6,$$ то корень $$x=5.$$

Ответ

1) при $$a\ne 3$$: $$x=3$$; при $$a=3$$ корней нет.

2) при $$a\ne 2$$: $$x=a$$; при $$a=2$$ корней нет.

3) при $$a=0$$: любое $$x\ne 2$$; при $$a\ne 0$$ и $$a\ne 2$$: $$x=a$$; при $$a=2$$ корней нет.

4) при $$a\ne 5$$ и $$a\ne -6$$: $$x=5$$ и $$x=-6$$; при $$a=5$$: $$x=-6$$; при $$a=-6$$: $$x=5$$.