Упр.41 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
1) $$\frac{x+8}{x-2}=0$$;
5) $$\frac{x-2}{x+3}=\frac{4x-1}{4x+1}$$;
2) $$\frac{x^2-81}{x-9}=0$$;
6) $$\frac{4x-3}{x+1}-\frac{6x-5}{2x+1}=1$$;
3) $$\frac{x+8}{x^2-64}=0$$;
7) $$\frac{x^2+33}{x^2-9}=\frac{8}{x+3}-\frac{x+4}{3-x}$$;
4) $$\frac{9}{x-2}-\frac{7}{x+2}=0$$;
8) $$\frac{6}{x^2+x}-\frac{x-6}{x^2-x}+\frac{10}{x^2-1}=0$$.
1) $$\frac{x+8}{x-2}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x+8=0,\qquad x-2\ne 0$$
$$x=-8,\qquad x\ne 2$$
Ответ: $$x=-8$$.
2) $$\frac{x^2-81}{x-9}=0$$
$$x^2-81=0,\qquad x-9\ne 0$$
$$x^2=81,\qquad x=\pm 9$$
Но $$x=9$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,
Ответ: $$x=-9$$.
3) $$\frac{x+8}{x^2-64}=0$$
$$x+8=0,\qquad x^2-64\ne 0$$
$$x=-8,\qquad x\ne \pm 8$$
Полученное значение не подходит, значит корней нет.
Ответ: корней нет.
4) $$\frac{9}{x-2}-\frac{7}{x+2}=0$$
$$\frac{9(x+2)-7(x-2)}{(x-2)(x+2)}=0$$
$$9x+18-7x+14=0$$
$$2x+32=0$$
$$x=-16$$
При этом $$x\ne 2$$ и $$x\ne -2$$, значит найденное значение подходит.
Ответ: $$x=-16$$.
5) $$\frac{x-2}{x+3}=\frac{4x-1}{4x+1}$$
ОДЗ: $$x\ne -3,\; x\ne -\frac14$$.
Перемножим крест-накрест:
$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)=\left(4x-1\right)\left(x+3\right)$$
$$4x^2-7x-2=4x^2+11x-3$$
$$-18x=-1$$
$$x=\frac1{18}$$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $$x=\frac1{18}$$.
6) $$\frac{4x-3}{x+1}-\frac{6x-5}{2x+1}=1$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne -\frac12$$.
Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4x-3}{x+1}-\frac{6x-5}{2x+1}-1=0$$
$$\frac{(4x-3)(2x+1)-(6x-5)(x+1)-(x+1)(2x+1)}{(x+1)(2x+1)}=0$$
$$8x^2+4x-6x-3-(6x^2+6x-5x-5)-(2x^2+3x+1)=0$$
$$-6x+1=0$$
$$x=\frac16$$
Это значение подходит по ОДЗ.
Ответ: $$x=\frac16$$.
7) $$\frac{x^2+33}{x^2-9}=\frac{8}{x+3}-\frac{x+4}{3-x}$$
ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne -3$$.
Так как $$3-x=-(x-3)$$, то
$$\frac{8}{x+3}-\frac{x+4}{3-x}=\frac{8}{x+3}+\frac{x+4}{x-3}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{8(x-3)+(x+4)(x+3)-(x^2+33)}{(x-3)(x+3)}=0$$
$$8x-24+x^2+7x+12-x^2-33=0$$
$$15x-45=0$$
$$x=3$$
Но $$x=3$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.
Ответ: корней нет.
8) $$\frac{6}{x^2+x}-\frac{x-6}{x^2-x}+\frac{10}{x^2-1}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 1,\; x\ne -1$$.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{6}{x(x+1)}-\frac{x-6}{x(x-1)}+\frac{10}{(x-1)(x+1)}=0$$
$$\frac{6(x-1)-(x-6)(x+1)+10x}{x(x-1)(x+1)}=0$$
$$6x-6-(x^2-5x-6)+10x=0$$
$$-x^2+21x=0$$
$$-x(x-21)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=21$$
Значение $$x=0$$ не подходит по ОДЗ, остаётся
Ответ: $$x=21$$.
