Упр.41 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{x-3}{x+1}=0$$;
2. $$\frac{x^2-16}{x+4}=0$$;
3. $$\frac{x+2}{x^2-4}=0$$;
4. $$\frac{5}{x+7}-\frac{3}{x-7}=0$$;
5. $$\frac{x+1}{x-4}=\frac{3x+1}{3x-1}$$;
6. $$\frac{9x-7}{3x-2}-\frac{4x-5}{2x-3}=1$$;
7. $$\frac{x^2+20}{x^2-4}=\frac{x-3}{x+2}-\frac{6}{2-x}$$;
8. $$\frac{5}{x^2-7x}-\frac{x-5}{x^2+7x}-\frac{9}{x^2-49}=0$$.

1) $$\frac{x-3}{x+1}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x-3=0,\quad x+1\ne 0$$

$$x=3,\quad x\ne -1$$

Ответ: $$x=3$$

2) $$\frac{x^2-16}{x+4}=0$$

$$x^2-16=0,\quad x+4\ne 0$$

$$x^2=16,\quad x\ne -4$$

$$x=4 \text{ или } x=-4$$

С учётом ОДЗ остаётся:

$$x=4$$

Ответ: $$x=4$$

3) $$\frac{x+2}{x^2-4}=0$$

$$x+2=0,\quad x^2-4\ne 0$$

$$x=-2,\quad x\ne 2,\quad x\ne -2$$

Полученное значение не подходит, значит корней нет.

Ответ: корней нет.

4) $$\frac{5}{x+7}-\frac{3}{x-7}=0$$

ОДЗ: $$x\ne -7,\; x\ne 7$$.

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5(x-7)-3(x+7)}{(x-7)(x+7)}=0$$

$$5x-35-3x-21=0$$

$$2x-56=0$$

$$x=28$$

Ответ: $$x=28$$

5) $$\frac{x+1}{x-4}=\frac{3x+1}{3x-1}$$

ОДЗ: $$x\ne 4,\; x\ne \frac13$$.

Перемножим крест-накрест:

$$\left(x+1\right)\left(3x-1\right)=\left(3x+1\right)\left(x-4\right)$$

$$3x^2+2x-1=3x^2-11x-4$$

$$13x=-3$$

$$x=-\frac{3}{13}$$

Ответ: $$x=-\frac{3}{13}$$

6) $$\frac{9x-7}{3x-2}-\frac{4x-5}{2x-3}=1$$

ОДЗ: $$x\ne \frac23,\; x\ne \frac32$$.

Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(9x-7)(2x-3)-(4x-5)(3x-2)}{(3x-2)(2x-3)}-1=0$$

$$\frac{(9x-7)(2x-3)-(4x-5)(3x-2)-(3x-2)(2x-3)}{(3x-2)(2x-3)}=0$$

$$\frac{-5x+5}{(3x-2)(2x-3)}=0$$

$$-5x+5=0$$

$$x=1$$

Ответ: $$x=1$$

7) $$\frac{x^2+20}{x^2-4}=\frac{x-3}{x+2}-\frac{6}{2-x}$$

ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -2$$.

Так как $$\frac{6}{2-x}=-\frac{6}{x-2}$$, получаем:

$$\frac{x^2+20}{(x-2)(x+2)}-\frac{x-3}{x+2}+\frac{6}{x-2}=0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+20-(x-3)(x-2)-6(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0$$

$$x^2+20-\left(x^2-5x+6\right)-6x-12=0$$

$$-x+2=0$$

$$x=2$$

Но $$x=2$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.

Ответ: корней нет.

8) $$\frac{5}{x^2-7x}-\frac{x-5}{x^2+7x}-\frac{9}{x^2-49}=0$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 7,\; x\ne -7$$.

Разложим знаменатели на множители:

$$\frac{5}{x(x-7)}-\frac{x-5}{x(x+7)}-\frac{9}{(x-7)(x+7)}=0$$

Умножим на $$x(x-7)(x+7)$$:

$$5(x+7)-(x-5)(x-7)-9x=0$$

$$5x+35-\left(x^2-12x+35\right)-9x=0$$

$$-x^2+8x=0$$

$$x(8-x)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=8$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=8$$.

Ответ: $$x=8$$