Упр.41 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$\frac{x+4}{x-1}=0$$;
2) $$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$;
3) $$\frac{x+5}{x^2-25}=0$$;
4) $$\frac{3}{x-4}-\frac{2}{x+4}=0$$;
5) $$\frac{x-1}{x+2}=\frac{2x-1}{2x+1}$$;
6) $$\frac{3x-5}{x-1}-\frac{2x-5}{x-2}=1$$;
7) $$\frac{x^2+9}{x^2-1}=\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}$$;
8) $$\frac{1}{x^2-6x}+\frac{1}{x^2+6x}=\frac{2x}{x^2-36}$$.
$$\frac{x+4}{x-1}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x+4=0,\quad x-1\ne 0$$
$$x=-4,\quad x\ne 1$$
Ответ: $$x=-4$$.
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$
$$x^2-9=0,\quad x-3\ne 0$$
$$x^2=9,\quad x\ne 3$$
$$x=3 \text{ или } x=-3$$
С учётом ОДЗ $$x\ne 3$$, остаётся:
Ответ: $$x=-3$$.
$$\frac{x+5}{x^2-25}=0$$
$$x+5=0,\quad x^2-25\ne 0$$
$$x=-5,\quad x\ne 5,\quad x\ne -5$$
Полученное значение не подходит, значит корней нет.
Ответ: корней нет.
$$\frac{3}{x-4}-\frac{2}{x+4}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 4,\; x\ne -4$$.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3(x+4)-2(x-4)}{(x-4)(x+4)}=0$$
$$3x+12-2x+8=0$$
$$x+20=0$$
$$x=-20$$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $$x=-20$$.
$$\frac{x-1}{x+2}=\frac{2x-1}{2x+1}$$
ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne -\frac12$$.
Перемножим крест-накрест:
$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)=\left(x+2\right)\left(2x-1\right)$$
$$2x^2-x-1=2x^2+3x-2$$
$$-4x=-1$$
$$x=\frac14$$
Это значение подходит по ОДЗ.
Ответ: $$x=\frac14$$.
$$\frac{3x-5}{x-1}-\frac{2x-5}{x-2}=1$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 2$$.
Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(3x-5)(x-2)-(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-2)}-1=0$$
$$\frac{(3x-5)(x-2)-(2x-5)(x-1)-(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=0$$
$$\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}=0$$
$$x-3=0$$
$$x=3$$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $$x=3$$.
$$\frac{x^2+9}{x^2-1}=\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -1$$.
Так как $$\frac{5}{1-x}=-\frac{5}{x-1}$$, получаем:
$$\frac{x^2+9}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}+\frac{5}{x-1}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$x^2+9-(x-2)(x-1)-5(x+1)=0$$
$$x^2+9-\left(x^2-3x+2\right)-5x-5=0$$
$$-2x+2=0$$
$$x=1$$
Но $$x=1$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.
Ответ: корней нет.
$$\frac{1}{x^2-6x}+\frac{1}{x^2+6x}=\frac{2x}{x^2-36}$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 6,\; x\ne -6$$.
Разложим знаменатели на множители:
$$\frac{1}{x(x-6)}+\frac{1}{x(x+6)}=\frac{2x}{(x-6)(x+6)}$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{x+6+x-6}{x(x-6)(x+6)}=\frac{2x}{(x-6)(x+6)}$$
$$\frac{2x}{x(x-6)(x+6)}=\frac{2x}{(x-6)(x+6)}$$
Умножим на $$x(x-6)(x+6)$$:
$$2x=2x^2$$
$$2x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
С учётом ОДЗ $$x=0$$ не подходит, значит:
Ответ: $$x=1$$.
