Контрольная работа 4 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Найдите пересечение и объединение множеств $$A$$ и $$B$$, где $$A$$ — множество делителей числа $$18$$, $$B$$ — множество делителей числа $$24$$.
- Найдите значение выражения:
1) $$0{,}5\sqrt{1600}-\frac{1}{3}\sqrt{36}$$;
2) $$\sqrt{(0{,}25\cdot81)}$$;
3) $$\sqrt{(6^2\cdot2^8)}$$;
4) $$\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}-\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}$$. - Решите уравнение:
1) $$x^2=2$$;
2) $$x^2=-16$$;
3) $$\sqrt{x}=4$$;
4) $$\sqrt{x}=-9$$. - Упростите выражение:
1) $$7\sqrt{2}-3\sqrt{8}+4\sqrt{18}$$;
2) $$(\sqrt{90}-\sqrt{40})\cdot\sqrt{10}$$;
3) $$(3\sqrt{5}-2)^2$$;
4) $$(2\sqrt{3}+3\sqrt{5})(2\sqrt{3}-3\sqrt{5})$$. - Сравните числа:
1) $$7\sqrt{2}$$ и $$6\sqrt{3}$$;
2) $$6\sqrt{\frac{2}{3}}$$ и $$4\sqrt{\frac{3}{2}}$$. - Сократите дробь:
1) $$\frac{\sqrt{a}+7}{a-49}$$;
2) $$\frac{33-\sqrt{33}}{\sqrt{33}}$$;
3) $$\frac{a-2\sqrt{3a}+3}{a-3}$$. - Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $$\frac{3}{2\sqrt{6}}$$;
2) $$\frac{10}{\sqrt{14}-2}$$. - Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $$\sqrt{5b^2}$$, если $$b\geqslant0$$;
2) $$\sqrt{12a^4}$$;
3) $$\sqrt{-a^5}$$;
4) $$\sqrt{-a^3b^6}$$, если $$b>0$$. - Упростите выражение $$\sqrt{(13-\sqrt{101})^2}-\sqrt{(\sqrt{101}-11)^2}$$.
1. Пусть $$A$$ — множество делителей числа $$18$$, а $$B$$ — множество делителей числа $$24$$. Тогда
$$A=\{1;2;3;6;9;18\}, \quad B=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}.$$
Следовательно,
$$A\cap B=\{1;2;3;6\}, \quad A\cup B=\{1;2;3;4;6;8;9;12;18;24\}.$$
Ход решения
2.
1) $$0{,}5\sqrt{1600}-\frac13\sqrt{36}=0{,}5\cdot 40-\frac13\cdot 6=20-2=18.$$
2) $$\sqrt{0{,}25\cdot 81}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5.$$
3) $$\sqrt{6^2\cdot 2^8}=\sqrt{36\cdot 256}=6\cdot 16=96.$$
4) $$\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}-\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}=\sqrt{100}-\sqrt{9}=10-3=7.$$
3.
1) $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}.$$
2) $$x^2=-16$$ — решений нет, так как $$x^2\ge 0$$.
3) $$\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16.$$
4) $$\sqrt{x}=-9$$ — решений нет, так как $$\sqrt{x}\ge 0.$$
4.
1) $$7\sqrt{2}-3\sqrt{8}+4\sqrt{18}=7\sqrt{2}-3\cdot 2\sqrt{2}+4\cdot 3\sqrt{2}=7\sqrt{2}-6\sqrt{2}+12\sqrt{2}=13\sqrt{2}.$$
2) $$(\sqrt{90}-\sqrt{40})\cdot \sqrt{10}=(3\sqrt{10}-2\sqrt{10})\cdot \sqrt{10}=\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10.$$
3) $$(3\sqrt{5}-2)^2=(3\sqrt{5})^2-2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 2+2^2=45-12\sqrt{5}+4=49-12\sqrt{5}.$$
4) $$(2\sqrt{3}+3\sqrt{5})(2\sqrt{3}-3\sqrt{5})=(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{5})^2=12-45=-33.$$
5.
1) Сравним квадраты чисел:
$$\left(7\sqrt{2}\right)^2=98,\qquad \left(6\sqrt{3}\right)^2=108.$$
Так как $$98<108$$, то $$7\sqrt{2}<6\sqrt{3}.$$
2) Сравним квадраты:
$$\left(6\sqrt{\frac23}\right)^2=36\cdot \frac23=24,\qquad \left(4\sqrt{\frac32}\right)^2=16\cdot \frac32=24.$$
Значит, $$6\sqrt{\frac23}=4\sqrt{\frac32}.$$
6.
1) $$\frac{\sqrt{a}+7}{a-49}=\frac{\sqrt{a}+7}{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}=\frac{1}{\sqrt{a}-7}.$$
2) $$\frac{33-\sqrt{33}}{\sqrt{33}}=\frac{\sqrt{33}(\sqrt{33}-1)}{\sqrt{33}}=\sqrt{33}-1.$$
3) $$\frac{a-2\sqrt{3a}+3}{a-3}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{3}}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}.$$
7.
1) $$\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$$
2) $$\frac{10}{\sqrt{14}-2}=\frac{10(\sqrt{14}+2)}{(\sqrt{14}-2)(\sqrt{14}+2)}=\frac{10(\sqrt{14}+2)}{14-4}=\sqrt{14}+2.$$
8.
1) $$\sqrt{5b^2}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{b^2}=|b|\sqrt{5}.$$
Так как $$b\le 0$$, то $$|b|=-b$$, значит $$\sqrt{5b^2}=-b\sqrt{5}.$$
2) $$\sqrt{12a^4}=\sqrt{4a^4\cdot 3}=2a^2\sqrt{3}.$$
3) $$\sqrt{-a^5}=\sqrt{a^4\cdot (-a)}=a^2\sqrt{-a}.$$
4) $$\sqrt{-a^3b^6}=\sqrt{-a\cdot a^2\cdot b^6}=|a|\cdot |b^3|\sqrt{-a}.$$
Так как $$b>0$$, то $$|b^3|=b^3$$, поэтому
$$\sqrt{-a^3b^6}=|a|b^3\sqrt{-a}.$$
9.
$$\sqrt{(13-\sqrt{101})^2}-\sqrt{(\sqrt{101}-11)^2}=|13-\sqrt{101}|-|\sqrt{101}-11|.$$
Так как $$13>\sqrt{101}>11$$, получаем
$$|13-\sqrt{101}|=13-\sqrt{101},\qquad |\sqrt{101}-11|=\sqrt{101}-11.$$
Тогда
$$13-\sqrt{101}-(\sqrt{101}-11)=13-\sqrt{101}-\sqrt{101}+11=2.$$
Ответ
1) $$A\cap B=\{1;2;3;6\},\quad A\cup B=\{1;2;3;4;6;8;9;12;18;24\}.$$
2) $$18;\ 4{,}5;\ 96;\ 7.$$
3) $$x=\pm \sqrt{2};$$ корней нет; $$x=16;$$ корней нет.
4) $$13\sqrt{2};\ 10;\ 49-12\sqrt{5};\ -33.$$
5) $$7\sqrt{2}<6\sqrt{3};\ 6\sqrt{\frac23}=4\sqrt{\frac32}.$$
6) $$\frac{1}{\sqrt{a}-7};\ \sqrt{33}-1;\ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{3}}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}.$$
7) $$\frac{\sqrt{6}}{4};\ \sqrt{14}+2.$$
8) $$-b\sqrt{5};\ 2a^2\sqrt{3};\ a^2\sqrt{-a};\ |a|b^3\sqrt{-a}.$$
9) $$2.$$
