Упр.39 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Равносильны ли уравнения: 1) $$x+4=11$$ и $$6x=42$$; 2) $$x+8=0$$ и $$(x-8)(x+8)=0$$; 3) $$x^4=-9$$ и $$\frac{8}{x}=0$$; 4) $$x+10=10+x$$ и $$\frac{x^2-5}{x^2-5}=1$$?

Подробный ответ

1) $$x+4=11$$ и $$6x=42$$.

Решим уравнения:

$$x=11-4=7$$

$$6x=42 \Rightarrow x=7$$

Оба уравнения имеют одно и то же решение, значит, они равносильны.

2) $$x+8=0$$ и $$(x-8)(x+8)=0$$.

Первое уравнение даёт:

$$x=-8$$

Второе уравнение:

$$(x-8)(x+8)=0 \Rightarrow x=8 \text{ или } x=-8$$

Множество решений различно, значит, уравнения не равносильны.

3) $$x^4=-9$$ и $$\frac{8}{x}=0$$.

Уравнение $$x^4=-9$$ не имеет действительных корней, так как $$x^4 \ge 0$$ при любом действительном $$x$$.

Уравнение $$\frac{8}{x}=0$$ также не имеет решений, так как дробь с числителем $$8$$ не может быть равна нулю.

Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.

4) $$x+10=10+x$$ и $$\frac{x^2-5}{x^2-5}=1$$.

Первое уравнение тождественно верно при любом $$x$$, то есть его решением является любое число.

Во втором уравнении нужно учитывать ОДЗ: $$x^2-5 \ne 0$$, то есть $$x \ne \pm\sqrt{5}$$. При этих значениях

$$\frac{x^2-5}{x^2-5}=1.$$

Значит, второе уравнение имеет все действительные значения $$x$$, кроме $$x=\pm\sqrt{5}$$. Множества решений различны, поэтому уравнения не равносильны.