Упр.37 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех допустимых значениях $$a$$ значение выражения $$\left(\frac{1}{a+2}-\frac{12}{a^3+8}+\frac{6}{a^2-2a+4}\right)\cdot\left(a-\frac{4a-4}{a+2}\right)$$ не зависит от значения $$a$$.

$$\left(\frac1{a+2}-\frac{12}{a^3+8}+\frac6{a^2-2a+4}\right)\left(a-\frac{4a-4}{a+2}\right)$$

Разложим знаменатель $$a^3+8$$ по формуле суммы кубов:

$$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4).$$

Тогда

$$\left(\frac1{a+2}-\frac{12}{(a+2)(a^2-2a+4)}+\frac6{a^2-2a+4}\right)\left(a-\frac{4a-4}{a+2}\right).$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-2a+4-12+6(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{a^2+4a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{(a+2)^2}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{a+2}{a^2-2a+4}.$$

Вторую скобку упростим:

$$a-\frac{4a-4}{a+2}=\frac{a(a+2)-(4a-4)}{a+2}=\frac{a^2-2a+4}{a+2}.$$

Теперь перемножим:

$$\frac{a+2}{a^2-2a+4}\cdot\frac{a^2-2a+4}{a+2}=1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ: $$1$$.