Упр.37 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях $$a$$ значение выражения $$\left(\frac{1}{a+1}-\frac{3}{a^3+1}+\frac{3}{a^2-a+1}\right)\cdot\left(a-\frac{2a-1}{a+1}\right)$$ не зависит от значения $$a$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{1}{a+1}-\frac{3}{a^3+1}+\frac{3}{a^2-a+1}\right)\cdot\left(a-\frac{2a-1}{a+1}\right).$$

Так как $$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1),$$ то

$$\frac{1}{a+1}-\frac{3}{a^3+1}+\frac{3}{a^2-a+1}=\frac{1}{a+1}-\frac{3}{(a+1)(a^2-a+1)}+\frac{3}{a^2-a+1}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a+1}-\frac{3}{(a+1)(a^2-a+1)}+\frac{3(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}$$

$$=\frac{a^2-a+1-3+3(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a^2+2a+1}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a+1}{a^2-a+1}.$$

Теперь преобразуем второй множитель:

$$a-\frac{2a-1}{a+1}=\frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1}=\frac{a^2-a+1}{a+1}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{a+1}{a^2-a+1}\cdot\frac{a^2-a+1}{a+1}=1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ

$$1$$