Упр.37 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях $$a$$ значение выражения $$\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$$ не зависит от значения $$a$$.

При допустимых значениях $$a$$ имеем $$a \ne -3$$ и $$a^3+27 \ne 0$$. Разложим кубическую сумму на множители:

$$a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9).$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$$

$$=\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{(a+3)(a^2-3a+9)}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(\frac{a(a+3)-(6a-9)}{a+3}\right).$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-3a+9-27+9(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{a^2+6a+9}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{(a+3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}.$$

Вторая скобка:

$$\frac{a^2+3a-6a+9}{a+3}=\frac{a^2-3a+9}{a+3}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{(a+3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}\cdot\frac{a^2-3a+9}{a+3}=1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ: $$1$$.