Упр.36 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\frac{a+4}{a^2-6a+9}:\frac{a^2-16}{2a-6}-\frac{2}{a-4}=\frac{2}{3-a}$$
   2) $$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\frac{1}{(m+8)^2}+\frac{2}{m^2-64}+\frac{1}{(m-8)^2}\right)=2m$$

Решение

1) Преобразуем левую часть:

$$\frac{a+4}{a^2-6a+9}:\frac{a^2-16}{2a-6}-\frac{2}{a-4} = \frac{a+4}{(a-3)^2}\cdot\frac{2a-6}{a^2-16}-\frac{2}{a-4}$$

$$= \frac{a+4}{(a-3)^2}\cdot\frac{2(a-3)}{(a-4)(a+4)}-\frac{2}{a-4} = \frac{2}{(a-3)(a-4)}-\frac{2}{a-4}$$

$$= \frac{2-2(a-3)}{(a-4)(a-3)} = \frac{2-2a+6}{(a-4)(a-3)} = \frac{8-2a}{(a-4)(a-3)}$$

$$= \frac{-2(a-4)}{(a-4)(a-3)} = -\frac{2}{a-3} = \frac{2}{3-a}.$$

Тождество верно.

2) Упростим левую часть:

$$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\frac{1}{(m+8)^2}+\frac{2}{m^2-64}+\frac{1}{(m-8)^2}\right)$$

$$= \frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\frac{1}{(m+8)^2}+\frac{2}{(m-8)(m+8)}+\frac{1}{(m-8)^2}\right)$$

$$= \frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\frac{(m-8)^2+2(m-8)(m+8)+(m+8)^2}{(m-8)^2(m+8)^2}$$

$$= \frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\frac{m^2-16m+64+2(m^2-64)+m^2+16m+64}{(m^2-64)^2}$$

$$= \frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\frac{4m^2}{(m^2-64)^2} = \frac{8m^3}{(m^2-64)^2}\cdot\frac{(m^2-64)^2}{4m^2} =2m.$$

Тождество верно.

Ответ

1) $$\frac{2}{3-a}$$; 2) $$2m$$.