Упр.27 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\frac{4x^2+9y^2}{4x^2-9y^2}-\frac{3y}{2x+3y}+\frac{3y}{3y-2x}$$;
2. $$\frac{x+6}{5x-10}-\frac{3}{x}-\frac{26-5x}{5x^2-10x}$$;
3. $$\frac{c+1}{2c^2-24c+72}-\frac{1}{7c-42}$$;
4. $$\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$$;
5. $$\frac{a+1}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}+\frac{a^3+a+1}{a^3-1}$$.

1) $$\frac{4x^2+9y^2}{4x^2-9y^2}-\frac{3y}{2x+3y}+\frac{3y}{3y-2x}$$

Так как $$4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y),$$ а $$3y-2x=-(2x-3y),$$ получаем

$$\frac{4x^2+9y^2}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{3y}{2x+3y}-\frac{3y}{2x-3y}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4x^2+9y^2-3y(2x-3y)-3y(2x+3y)}{(2x-3y)(2x+3y)}$$

$$=\frac{4x^2+9y^2-6xy+9y^2-6xy-9y^2}{(2x-3y)(2x+3y)}$$

$$=\frac{4x^2-12xy+9y^2}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{(2x-3y)^2}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{2x-3y}{2x+3y}.$$

2) $$\frac{x+6}{5x-10}-\frac{3}{x}-\frac{26-5x}{5x^2-10x}$$

Разложим знаменатели:

$$5x-10=5(x-2), \qquad 5x^2-10x=5x(x-2).$$

Тогда

$$\frac{x+6}{5(x-2)}-\frac{3}{x}-\frac{26-5x}{5x(x-2)}$$

Приведём к общему знаменателю $$5x(x-2)$$:

$$\frac{x(x+6)-15(x-2)-(26-5x)}{5x(x-2)}$$

$$=\frac{x^2+6x-15x+30-26+5x}{5x(x-2)}=\frac{x^2-4x+4}{5x(x-2)}$$

$$=\frac{(x-2)^2}{5x(x-2)}=\frac{x-2}{5x}.$$

3) $$\frac{c+1}{2c^2-24c+72}-\frac{1}{7c-42}$$

Имеем

$$2c^2-24c+72=2(c^2-12c+36)=2(c-6)^2,\qquad 7c-42=7(c-6).$$

Тогда

$$\frac{c+1}{2(c-6)^2}-\frac{1}{7(c-6)}$$

Приведём к общему знаменателю $$14(c-6)^2$$:

$$\frac{7(c+1)-2(c-6)}{14(c-6)^2}=\frac{7c+7-2c+12}{14(c-6)^2}=\frac{5c+19}{14(c-6)^2}.$$

4) $$\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$$

Разложим знаменатели:

$$2y+2=2(y+1),\qquad 2y-2=2(y-1),\qquad y^2-1=(y-1)(y+1).$$

Тогда

$$\frac{y+3}{2(y+1)}-\frac{y+1}{2(y-1)}+\frac{3}{(y-1)(y+1)}$$

Приведём к общему знаменателю $$2(y-1)(y+1)$$:

$$\frac{(y+3)(y-1)-(y+1)^2+6}{2(y-1)(y+1)}$$

$$=\frac{y^2+2y-3-y^2-2y-1+6}{2(y-1)(y+1)}=\frac{2}{2(y-1)(y+1)}$$

$$=\frac{1}{(y-1)(y+1)}=\frac{1}{y^2-1}.$$

5) $$\frac{a+1}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}+\frac{a^3+a+1}{a^3-1}$$

Так как $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1),$$ получаем

$$\frac{a+1}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}+\frac{a^3+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Приведём к общему знаменателю $$(a-1)(a^2+a+1)$$:

$$\frac{(a+1)(a-1)-(a^2+a+1)+(a^3+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

$$=\frac{a^2-1-a^2-a-1+a^3+a+1}{a^3-1}=\frac{a^3-1}{a^3-1}=1.$$

Ответ: 1) $$\frac{2x-3y}{2x+3y}$$; 2) $$\frac{x-2}{5x}$$; 3) $$\frac{5c+19}{14(c-6)^2}$$; 4) $$\frac{1}{y^2-1}$$; 5) $$1$$.