Упр.23 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых является целым числом значение выражения:
1) $$\frac{5n^2+6n+21}{n}$$;
2) $$\frac{3n^3+4n^2+162}{n^2}$$;
3) $$\frac{12n+11}{3n-2}$$.
1) $$\frac{5n^2+6n+21}{n}=5n+6+\frac{21}{n}.$$
Чтобы выражение было целым, число $$n$$ должно делить $$21$$. Тогда
$$n=1,\ 3,\ 7,\ 21.$$
При этих значениях выражение является целым числом.
2) $$\frac{3n^3+4n^2+162}{n^2}=3n+4+\frac{162}{n^2}.$$
Чтобы выражение было целым, число $$n^2$$ должно делить $$162$$. Среди квадратов натуральных чисел делителями числа $$162$$ являются:
$$n^2=1,\ 9,\ 81.$$
Отсюда
$$n=1,\ 3,\ 9.$$
При этих значениях выражение является целым числом.
3) $$\frac{12n+11}{3n-2}=\frac{12n-8+19}{3n-2}=4+\frac{19}{3n-2}.$$
Чтобы выражение было целым, число $$3n-2$$ должно делить $$19$$. Так как $$19$$ — простое число, то
$$3n-2=1 \quad \text{или} \quad 3n-2=19.$$
Тогда
$$n=1 \quad \text{или} \quad n=7.$$
При этих значениях выражение является целым числом.
Ответ
1) $$n=1,\ 3,\ 7,\ 21$$; 2) $$n=1,\ 3,\ 9$$; 3) $$n=1,\ 7$$.
